Un point où une fonction est soit indéfinie soit définie par une valeur différente de la limite finie de la fonction quand la variable indépendante tend vers ce point, et où redéfinir la fonction en ce point en égalant la limite rend la fonction continue là.

Principe

Une discontinuité est supprimable lorsque la limite bilatérale (ou les limites directionnelles appropriées) existe et est finie ; changer la valeur ponctuelle en cette limite supprime la discontinuité sans modifier la fonction ailleurs.

Démonstration

f(x) = (sin x)/x pour x ≠ 0 et f(0) indéfinie possède une discontinuité supprimable en 0 car lim_{x→0} (sin x)/x = 1 ; définir f(0)=1 rend f continue en 0.

Mauvaise application

Qualifier une singularité de supprimable lorsque les limites directionnelles ou bilatérales n'existent pas (par exemple en présence d'un saut ou d'une singularité essentielle) conduit à des redéfinitions incorrectes et à la perte d'informations analytiques valides.

Conséquence

Une discontinuité supprimable peut être corrigée par une unique redéfinition locale, restaurant la continuité et souvent permettant l'extension de la structure analytique ou différentiable si des conditions de régularité supplémentaires sont satisfaites ; la dérivabilité peut toutefois ne pas s'étendre automatiquement.

Inversion

Si la limite n'existe pas ou est infinie, la discontinuité n'est pas supprimable et doit être classée comme saut, infinie ou essentielle ; ce sont les opposés de la supprimabilité.

Limite

La supprimabilité exige l'existence de la limite appropriée ; elle s'applique aux contextes réels et complexes en variable unique où les limites sont indépendantes du chemin ; en plusieurs variables ou en complexe la dépendance au chemin ou la monodromie peut empêcher la supprimabilité.

Tension sémantique

Distinguer la discontinuité supprimable d'une redéfinition ponctuelle qui restaure la continuité et des singularités plus graves comme les pôles ou les singularités essentielles qui ne peuvent être corrigées par une seule redéfinition ; opposer aussi au saut où les limites unilatérales diffèrent.

Synthèse

La discontinuité supprimable est un décalage local et fini entre la valeur assignée d'une fonction et sa valeur limite, corrigeable en définissant le point égal à la limite, ce qui rétablit la continuité sans altérer la fonction ailleurs.