Ein Punkt, an dem eine Funktion entweder undefiniert ist oder einen Wert annimmt, der von dem endlichen Grenzwert der Funktion bei Annäherung an diesen Punkt abweicht, und an dem das Umdefinieren des Funktionswertes auf diesen Grenzwert die Funktion dort stetig macht.

Prinzip

Eine Diskontinuität ist hebbar, wenn der zweiseitige (oder passende gerichtete) Grenzwert existiert und endlich ist; das Setzen des punktuellen Wertes auf diesen Grenzwert beseitigt die Diskontinuität, ohne die Funktion anderswo zu verändern.

Demonstration

f(x) = (sin x)/x für x ≠ 0 und f(0) undefiniert hat in 0 eine hebbare Diskontinuität, weil lim_{x→0} (sin x)/x = 1 gilt; durch Setzen von f(0)=1 wird f in 0 stetig.

Fehlanwendung

Eine Singularität als hebbar zu bezeichnen, obwohl gerichtete oder zweiseitige Grenzwerte nicht existieren (etwa bei Sprüngen oder essentiellen Singularitäten), führt zu fehlerhaften Umdefinierungen und zum Verlust gültiger analytischer Information.

Konsequenz

Eine hebbare Diskontinuität lässt sich durch eine lokale Umdefinition beheben, wodurch Stetigkeit wiederhergestellt wird und oft auch eine Fortsetzung analytischer oder differenzierbarer Struktur möglich ist, sofern zusätzliche Regularitätsbedingungen erfüllt sind; Differenzierbarkeit folgt nicht automatisch.

Umkehrung

Existiert der Grenzwert nicht oder ist er unendlich, so ist die Diskontinuität nicht hebbar und ist als Sprung-, unendliche oder essentielle Diskontinuität zu klassifizieren; das sind die Gegenteile der Hebbarkeit.

Abgrenzung

Hebbarkeit setzt das Vorhandensein des passenden Grenzwerts voraus; der Begriff gilt für reelle und komplexe Funktionen in einer Variablen, bei denen Grenzwerte wegunabhängig sind; in mehrdimensionalen oder komplexen Fällen können Wegabhängigkeit oder Monodromie Hebbarkeit verhindern.

Semantische Spannung

Unterscheide hebbare Diskontinuität von einer punktuellen Umdefinition, die Stetigkeit wiederherstellt, gegenüber schwereren Singularitäten wie Polen oder essentiellen Singularitäten, die sich nicht durch einzelne Umdefinierung beheben lassen; gegenüber Sprüngen, bei denen einseitige Grenzwerte verschieden sind, steht Hebbarkeit konträr.

Synthese

Eine hebbare Diskontinuität ist eine lokale, endliche Abweichung zwischen einem zugewiesenen Funktionswert und seinem Grenzwert, die durch Setzen des Punktwertes auf den Grenzwert korrigiert werden kann und so die Stetigkeit wiederherstellt.