Un point où une fonction n'est pas définie ou pas régulière mais où la fonction peut être redéfinie ou prolongée de sorte qu'elle devienne régulière (analytique ou continue selon le contexte) dans un voisinage du point.

Principe

Une singularité est retirables lorsque le comportement limite de la fonction près du point tend vers une valeur finie (ou qu'un prolongement existe), permettant une redéfinition unique qui restaure la régularité sans modifier la fonction ailleurs.

Démonstration

La fonction f(z)=sin(z)/z sur le plan complexe possède une singularité retirable en z=0 car définir f(0)=1 rend f entière ; la limite de f en 0 existe et vaut 1.

Mauvaise application

Prendre un pôle ou une singularité essentielle pour une singularité retirable conduit à des prolongements incorrects ; par exemple attribuer une valeur finie à un pôle où la fonction diverge brise l'analyticité et fausse le calcul des résidus.

Conséquence

Identifier les singularités retirables permet d'étendre les fonctions à des domaines plus larges, de simplifier la classification des singularités et d'appliquer correctement des théorèmes nécessitant l'analyticité ou la continuité sur des ensembles fermés.

Inversion

Les classes contrastées sont les singularités non retirables : les pôles (divergence d'ordre fini) et les singularités essentielles (comportement très irrégulier) où aucun ajustement ne rend la fonction régulière.

Limite

S'applique aux fonctions analytiques ou continues sur des domaines topologiques ou complexes. Exclut les redéfinitions qui restaureraient la continuité mais violeraient une régularité requise (par ex. restaurer la continuité sans l'analyticité lorsque l'analyticité est exigée).

Tension sémantique

Tension entre « retirabilité » au sens de restauration ponctuelle de la continuité et la restauration de structures plus fortes comme la différentiabilité ou l'analyticité ; la retirabilité dépend de la classe de régularité visée.

Synthèse

Une singularité retirable est un défaut local du domaine d'une fonction qui est superficiel : la fonction admet un prolongement bien défini en ce point qui rétablit la régularité voulue, de sorte que la singularité peut être « comblée » sans modifier le comportement voisin.