Ein Punkt, an dem eine Funktion nicht definiert oder nicht regulär ist, an dem die Funktion jedoch so umdefiniert oder fortgesetzt werden kann, dass sie in einer Umgebung des Punktes regulär (analytisch oder stetig, je nach Kontext) wird.

Prinzip

Eine Singularität ist hebbar, wenn das Grenzverhalten der Funktion in der Umgebung gegen einen endlichen Wert konvergiert (oder eine Fortsetzung existiert), so dass eine eindeutige Umdefinition die Regularität wiedereinführt, ohne das Verhalten außerhalb des Punktes zu ändern.

Demonstration

Die Funktion f(z)=sin(z)/z in der komplexen Ebene hat eine hebbare Singularität bei z=0, denn durch Setzen von f(0)=1 wird f ganz (entire); der Grenzwert von f bei z→0 existiert und ist 1.

Fehlanwendung

Die Verwechslung eines Pols oder einer wesentlichen Singularität mit einer hebbaren führt zu falschen Fortsetzungen; etwa eine endliche Wertzuweisung an einen Pol, bei dem die Funktion divergiert, zerstört die Analytizität und verfälscht Residuenberechnungen.

Konsequenz

Das Auffinden hebbarer Singularitäten erlaubt Fortsetzungen von Funktionen auf größere Definitionsbereiche, vereinfacht die Klassifikation von Singularitäten und sichert die korrekte Anwendung von Sätzen, die Analytizität oder Stetigkeit auf abgeschlossenen Mengen voraussetzen.

Umkehrung

Gegenüber stehen nicht hebbare Singularitäten: Pole (Divergenz endlicher Ordnung) und wesentliche Singularitäten (wildes, nicht polynomiales Verhalten), an denen keine Umdefinition Regularität erzielt.

Abgrenzung

Gilt für analytische oder stetige Funktionen auf topologischen oder komplexen Gebieten. Schließt Fortsetzungen aus, die zwar Stetigkeit herstellen, aber die geforderte stärkere Regularität (z. B. Analytizität) nicht erfüllen.

Semantische Spannung

Spannung zwischen 'hebbar' im Sinne punktweiser Wiederherstellung der Stetigkeit und der Wiederherstellung stärkerer Strukturen wie Differenzierbarkeit oder Analytizität; ob eine Singularität hebbar ist, hängt von der betrachteten Regularitätsklasse ab.

Synthese

Eine hebbare Singularität ist ein oberflächlicher Defekt in der Definitionsmenge einer Funktion: die Funktion erlaubt eine wohldefinierte Fortsetzung am Punkt, die die gewünschte Regularität wiederherstellt, sodass die Singularität aufgefüllt werden kann.