Un point tel que tout voisinage de celui-ci contient au moins un point de l'ensemble donné distinct du point lui‑même (ou une infinité de points, selon la convention) ; équivalemment un point de la fermeture moins les occurrences isolées.

Principe

Les points d'accumulation traduisent l'endroit où un ensemble se concentre : quel que soit le voisinage choisi, on trouve des éléments de l'ensemble arbitrairement proches du point, signalant un comportement limite ou une présence locale dense.

Démonstration

Pour l'ensemble {1/n : n ∈ N} sur la droite réelle, 0 est un point d'accumulation car tout voisinage de 0 contient un certain 1/n, tandis que chaque 1/n n'est pas forcément un point d'accumulation s'il n'existe pas d'autres 1/m arbitrairement proches.

Mauvaise application

Qualifier tout point de la fermeture de point d'accumulation en négligeant les points isolés conduit à des erreurs ; par exemple considérer des éléments d'un ensemble fini comme des points d'accumulation fausse des raisonnements sur la continuité ou la compacité.

Conséquence

Reconnaitre les points d'accumulation est essentiel pour les définitions de limites, les critères de compacité (comme la compacité séquentielle) et pour décrire le comportement de regroupement des suites et des ensembles en topologie et en analyse.

Inversion

La notion opposée est le point isolé : un point muni d'un voisinage contenant aucun autre point de l'ensemble ; lorsque l'accumulation fait défaut, l'ensemble est localement discret.

Limite

Défini dans les espaces topologiques ; les conventions varient quant à l'exigence d'une infinité de points dans chaque voisinage ou seulement d'un point distinct. N'implique pas une densité au sens mesurable ni une multiplicité algébrique sans précision.

Tension sémantique

Tension entre « point limite » (notion fondée sur les suites), « point de grappe » (terme analyste) et « point d'accumulation » (terme topologique) ; certains textes exigent une infinité de points proches, d'autres acceptent la présence d'un point distinct.

Synthèse

Un point d'accumulation est un lieu où un ensemble se rassemble sans s'isoler : tout voisinage contient d'autres éléments de l'ensemble, marquant des positions de comportement limite ou de regroupement en topologie et en analyse.