Ein Punkt, sodass jede Umgebung von ihm mindestens einen Punkt der gegebenen Menge enthält, der sich vom betrachteten Punkt unterscheidet (oder nach Konvention unendlich viele Punkte); äquivalent: ein Punkt des Abschlusses ohne isolierte Stellen.

Prinzip

Häufungspunkte kennzeichnen, wo sich eine Menge anhäuft: egal wie klein eine Umgebung gewählt wird, findet man andere Mengenglieder beliebig nahe am Punkt, was auf Grenzverhalten oder lokale Dichte hindeutet.

Demonstration

Für die Menge {1/n : n ∈ N} in R ist 0 ein Häufungspunkt, weil jede Umgebung von 0 ein 1/n enthält, während ein einzelnes 1/n kein Häufungspunkt ist, wenn keine anderen 1/m beliebig nahe liegen.

Fehlanwendung

Jeden Punkt des Abschlusses automatisch zum Häufungspunkt zu erklären, verkennt isolierte Punkte; z. B. Endpunkte endlicher Mengen als Häufungspunkte zu behandeln, führt zu falschen Aussagen über Stetigkeit oder Kompaktheit.

Konsequenz

Die Erkennung von Häufungspunkten ist wesentlich für Grenzdefinitionen, Kompaktheitskriterien (wie sequenzielle Kompaktheit) und zur Beschreibung des Clusterverhaltens von Folgen und Mengen in Topologie und Analysis.

Umkehrung

Das Gegenteil ist ein isolierter Punkt: ein Punkt mit einer Umgebung, die keine anderen Punkte der Menge enthält; wo Häufung fehlt, ist die Menge lokal diskret.

Abgrenzung

Definiert in topologischen Räumen; Konventionen unterscheiden, ob in jeder Umgebung unendlich viele Punkte erforderlich sind oder nur ein anderer Punkt. Impliziert keine maßtheoretische Dichte oder algebraische Vielfachheit ohne weitere Angaben.

Semantische Spannung

Es besteht Spannung zwischen 'Limespunkt' (folgenbasiert), 'Clusterpunkt' (analytischer Gebrauch) und 'Häufungspunkt' (topologischer Begriff); in manchen Texten ist die Forderung nach unendlich vielen nahegelegenen Punkten üblich.

Synthese

Ein Häufungspunkt ist ein Ort, an dem sich eine Menge anhäuft: jede Umgebung enthält andere Mengenglieder und markiert somit Stellen von Grenz- oder Clusterverhalten in topologischen und analytischen Kontexten.