Un punto tal que cada vecindad suya contiene al menos un punto del conjunto dado distinto del propio punto (o infinitos puntos, según la convención); equivalente: un punto del cierre sin ocurrencias aisladas.

Principio

Los puntos de acumulación señalan donde un conjunto se agrupa: sin importar cuán pequeña sea la vecindad, se encuentran otros miembros del conjunto arbitrariamente cerca del punto, indicando comportamiento límite o presencia local densa.

Demostración

Para el conjunto {1/n : n ∈ N} en la recta real, 0 es un punto de acumulación porque toda vecindad de 0 contiene algún 1/n, mientras que cada 1/n no es necesariamente punto de acumulación si no hay otros 1/m arbitrariamente próximos.

Aplicación incorrecta

Llamar punto de acumulación a todo punto del cierre ignorando puntos aislados conduce a errores; por ejemplo, tratar puntos de un conjunto finito como de acumulación falsea argumentos sobre continuidad o compacidad.

Consecuencia

Reconocer puntos de acumulación es esencial para definiciones de límite, criterios de compacidad (como la compacidad secuencial) y para describir el comportamiento de agrupamiento de sucesiones y conjuntos en topología y análisis.

Inversión

La noción opuesta es el punto aislado: un punto que tiene una vecindad que no contiene otros puntos del conjunto; donde falla la acumulación, el conjunto es localmente discreto.

Límite

Definido en espacios topológicos; las convenciones difieren sobre si la acumulación exige infinitos puntos en cada vecindad o solo otro punto distinto. No implica densidad en sentido medible ni multiplicidad algebraica salvo que se precise.

Tensión semántica

Tensión entre 'punto límite' (basado en sucesiones), 'punto de cúmulo' (uso en análisis) y 'punto de acumulación' (término topológico); algunos textos exigen infinitos puntos cercanos, otros aceptan la presencia de un punto distinto.

Síntesis

Un punto de acumulación es donde un conjunto se concentra sin aislarse: cada vecindad contiene otros miembros del conjunto, marcando ubicaciones de comportamiento límite o agrupamiento en contextos topológicos y analíticos.