Théorème fondamental de l'analyse complexe qui affirme que l'intégrale curviligne d'une fonction holomorphe autour de toute courbe fermée dans une région simplement connexe est nulle ; équivalemment, les intégrales sont indépendantes du chemin et il existe des primitives locales.

Principe

L'holomorphie implique des primitives locales ; dans des domaines simplement connexes cela s'étend globalement de sorte que les intégrales le long de boucles fermées s'annulent et que l'intégrale ne dépend que des points d'extrémité.

Démonstration

Si f est holomorphe sur un domaine simplement connexe D et γ est toute courbe fermée par morceaux dans D, alors ∮_γ f(z) dz = 0. Par exemple, l'intégrale de e^z autour de toute boucle fermée dans C est nulle car e^z est entière.

Mauvaise application

Appliquer le théorème quand le domaine n'est pas simplement connexe ou lorsque f a des singularités à l'intérieur de la courbe (p.ex. intégrer 1/z autour d'une boucle entourant 0), ou négliger l'orientation et l'hypothèse de courbe par morceaux lisse.

Conséquence

Conduit directement à la formule intégrale de Cauchy (valeurs et dérivées obtenues par intégrales de contour), aux développements en séries de puissances, à la continuation analytique et à la théorie des résidus lorsque des singularités sont présentes.

Inversion

Une intégrale curviligne non nulle pour un intégrande apparemment holomorphe signale l'échec des hypothèses : soit l'intégrande n'est pas holomorphe sur la région (il y a des singularités à l'intérieur), soit la courbe n'est pas homologiquement nulle dans le domaine.

Limite

Exige l'holomorphie sur et à l'intérieur de la région délimitée par la courbe (ou que la courbe soit null-homotope dans le domaine) et des chemins fermés par morceaux lisses ; ne s'applique pas aux fonctions méromorphes avec pôles à l'intérieur sans tenir compte des résidus.

Tension sémantique

Tension avec les intégrales de ligne en variables réelles où l'exactitude dépend de champs conservatifs et de la topologie du domaine ; en analyse complexe l'holomorphie est plus contraignante et produit des identités intégrales rigides absentes en contexte réel.

Synthèse

Le Théorème Intégral de Cauchy relie la régularité holomorphe locale au comportement intégral global : dans des domaines simplement connexes, les intégrales sur contours fermés s'annulent, fondant les outils centraux comme la formule intégrale et les développements en séries.