Grundlegender Satz der komplexen Analysis, der besagt, dass das Kurvenintegral einer holomorphen Funktion um jede geschlossene Kurve in einem einfach zusammenhängenden Gebiet null ist; äquivalent haben holomorphe Funktionen wegunabhängige Integrale und lokale Stammfunktionen.

Prinzip

Holomorphie impliziert lokale Stammfunktionen; in einfach zusammenhängenden Gebieten gilt dies global, sodass Integrale über geschlossene Schleifen verschwinden und Integrale nur von den Endpunkten abhängen.

Demonstration

Ist f holomorph auf einem einfach zusammenhängenden Gebiet D und γ eine geschlossene stückweise glatte Kurve in D, so gilt ∮_γ f(z) dz = 0. Beispielsweise ist das Integral von e^z um jede geschlossene Schleife in ℂ null, da e^z ganz ist.

Fehlanwendung

Anwendung des Satzes in nicht einfach zusammenhängenden Gebieten oder wenn f Singularitäten innerhalb der Kurve hat (z. B. 1/z um eine Schleife, die 0 einschließt), oder Vernachlässigung von Orientierung und stückweiser Glattheit der Kurve.

Konsequenz

Ermöglicht die Cauchysche Integralformel (Werte und Ableitungen durch Konturintegrale), Potenzreihenentwicklungen, analytische Fortsetzung und führt zur Residuensatz-Theorie bei vorhandenen Singularitäten.

Umkehrung

Ein von null verschiedenes Kurvenintegral für scheinbar holomorphe Integranden zeigt das Versagen der Voraussetzungen an: Entweder ist der Integrand nicht holomorph im Gebiet (es gibt Singularitäten im Inneren) oder die Kurve ist nicht nullhomotop.

Abgrenzung

Voraussetzung ist Holomorphie auf und innerhalb der von der Kurve eingeschlossenen Region (oder dass die Kurve nullhomotop im Gebiet ist) sowie stückweise glatte geschlossene Pfade; gilt nicht für meromorphe Funktionen mit Polen im Inneren ohne Berücksichtigung von Residuen.

Semantische Spannung

Spannung gegenüber reellen Linienintegralen, bei denen Exaktheit von konservativen Feldern und der Topologie des Gebiets abhängt; in der komplexen Analysis ist Holomorphie stärker und liefert starre Integrationsidentitäten, die im realen Fall fehlen.

Synthese

Der Cauchysche Integralsatz verbindet lokale holomorphe Regularität mit globalem Integrationsverhalten: in einfach zusammenhängenden holomorphen Gebieten verschwinden geschlossene Konturintegrale und bilden die Grundlage für Formeln und Reihenentwicklungen.