Teorema fundamental del análisis complejo que afirma que la integral de contorno de una función holomorfa alrededor de cualquier curva cerrada en una región simplemente conexa es cero; equivalentemente, las funciones holomorfas tienen integrales independientes del camino y primitiva local.

Principio

La holomorfía implica primitivas locales; en dominios simplemente conexos esto se extiende globalmente, de modo que las integrales sobre lazos cerrados se anulan y las integrales dependen sólo de los extremos.

Demostración

Si f es holomorfa en un dominio simplemente conexo D y γ es una curva cerrada a trozos en D, entonces ∮_γ f(z) dz = 0. Por ejemplo, la integral de e^z alrededor de cualquier lazo cerrado en C es cero porque e^z es entera.

Aplicación incorrecta

Aplicar el teorema cuando el dominio no es simplemente conexo o cuando f tiene singularidades dentro de la curva (p. ej. integrar 1/z alrededor de un lazo que encierra 0), o ignorar la orientación y la condición de curvas a trozos lisas.

Consecuencia

Conduce directamente a la fórmula integral de Cauchy (valores y derivadas a partir de integrales de contorno), expansiones en series de potencias, continuación analítica y a la teoría de residuos cuando hay singularidades.

Inversión

Una integral de contorno no nula indica el fallo de las hipótesis: o bien el integrando no es holomorfo en la región (hay singularidades dentro) o el lazo no es homologable a cero en el dominio.

Límite

Requiere holomorfía en y dentro de la región encerrada por la curva (o que la curva sea nulo-homóloga en el dominio) y caminos cerrados a trozos lisos; no se aplica a funciones meromorfas con polos interiores sin tener en cuenta residuos.

Tensión semántica

Tensión con integrales de línea reales donde la exactitud depende de campos conservativos y de la topología del dominio; en análisis complejo la holomorfía es más fuerte y produce identidades integrales rígidas inexistentes en el contexto real.

Síntesis

El Teorema Integral de Cauchy liga la regularidad holomorfa local con el comportamiento integral global: en dominios simplemente conexos las integrales sobre contornos cerrados se anulan y sustentan fórmulas e expansiones fundamentales.