Énoncé de la géométrie algébrique affirmant que deux courbes algébriques du plan projectif sans composante commune se rencontrent en un nombre de points, comptés avec multiplicité, égal au produit de leurs degrés, sur un corps algébriquement clos.

Principe

Le nombre d'intersections dans le plan projectif est régi par les degrés : la clôture projective et le comptage des multiplicités (y compris aux points à l'infini) donnent m·n intersections lorsque les courbes n'ont pas de composante commune.

Démonstration

Deux courbes de degrés m et n (par exemple une conique de degré 2 et une cubique de degré 3) se rencontrent en général en m·n = 6 points dans le plan projectif, comptés avec multiplicité et sur un corps algébriquement clos.

Mauvaise application

Appliquer le théorème dans le plan affine sans tenir compte des points à l'infini, ignorer la multiplicité, ou l'utiliser sur un corps non algébriquement clos sans changement de base ; ou l'utiliser lorsque les courbes partagent une composante.

Conséquence

Fournit un décompte prévisible des intersections utile en théorie d'élimination et en géométrie énumérative, et conduit à des raffinements (multiplicité d'intersection, matrices de Bézout, conditions d'existence de facteurs communs).

Inversion

Si deux courbes ont moins de m·n points distincts d'intersection, cet écart s'explique par des multiplicités, des intersections à l'infini ou une composante commune ; inversement, un nombre apparemment supérieur signale des multiplicités ou des dégénérescences prises en compte par le théorème.

Limite

Suppose que l'on travaille dans le plan projectif sur un corps algébriquement clos et que les courbes n'ont pas de composante irréductible commune ; ne s'applique pas directement aux variétés de dimension supérieure sans généralisation ni aux schémas nécessitant une théorie d'intersection raffinée.

Tension sémantique

Souvent confondu avec l'identité de Bézout en arithmétique ; en géométrie il rivalise avec des notions locales d'intersection (p.ex. multiplicité schématique) qui affinent le comptage naïf de points.

Synthèse

Le Théorème de Bézout organise les intersections de courbes planes projectives : après complétion projective et comptage des multiplicités sur un corps algébriquement clos, les degrés se multiplient pour donner le total des intersections sauf en cas de composantes communes.