Aussage der algebraischen Geometrie, wonach zwei algebraische Kurven in der projektiven Ebene ohne gemeinsame Komponente in einer Anzahl von Punkten zusammenstoßen, die mit Vielfachheit gezählt dem Produkt ihrer Grade entspricht, über einem algebraisch abgeschlossenen Körper.

Prinzip

Die Schnittzahl in der projektiven Ebene wird durch die Grade bestimmt: Durch Projektivabschluss und Zählen der Vielfachheiten (einschließlich Schnittpunkte im Unendlichen) erhält man bei keinen gemeinsamen Komponenten m·n Schnittpunkte.

Demonstration

Zwei Kurven vom Grad m und n (z. B. eine Konik vom Grad 2 und eine kubische Kurve vom Grad 3) schneiden sich in der projektiven Ebene typischerweise in m·n = 6 Punkten, wobei Vielfachheiten und algebraisch abgeschlossener Körper berücksichtigt sind.

Fehlanwendung

Anwendung im affinen Raum ohne Berücksichtigung der Punkte im Unendlichen, Vernachlässigung der Vielfachheit oder Anwendung über einem nicht algebraisch abgeschlossenen Körper ohne Basiserweiterung; auch fehlerhaft, wenn die Kurven eine gemeinsame Komponente haben.

Konsequenz

Ermöglicht vorhersehbare Schnittzahlangaben, nützlich in Eliminationsverfahren und enumerativer Geometrie, und führt zu Verfeinerungen (Schnittmultiplikität, Bézout-Matrizen, Kriterien für gemeinsame Faktoren).

Umkehrung

Wenn zwei Kurven weniger als m·n verschiedene Schnittpunkte haben, erklärt dies durch Vielfachheiten, Schnittpunkte im Unendlichen oder gemeinsame Komponenten; ein scheinbarer Überschuss weist auf Vielfachheiten oder Entartungen hin, die der Satz erfasst.

Abgrenzung

Setzt Arbeit in der projektiven Ebene über einem algebraisch abgeschlossenen Körper und das Fehlen gemeinsamer irreduzibler Komponenten voraus; gilt nicht direkt für höherdimensionale Varietäten ohne Verallgemeinerung oder für Schemata ohne verfeinerte Schnitttheorie.

Semantische Spannung

Wird oft mit dem Bézout-Identitätssatz der Zahlentheorie verwechselt; innerhalb der Geometrie konkurriert es mit lokalen Schnittbegriffen (z. B. schematische Multiplikität), die das einfache Punktezählen verfeinern.

Synthese

Der Bézout-Satz ordnet Schnittpunkte ebenen projektiver Kurven: Nach Projektivabschluss und Vielfachheitszählung über einem algebraisch abgeschlossenen Körper multiplizieren sich die Grade zum Gesamtanzahl der Schnittpunkte, sofern keine Komponenten geteilt werden.