Enunciado de la geometría algebraica que afirma que dos curvas algebraicas del plano proyectivo sin componente común se cortan en un número de puntos, contados con multiplicidad, igual al producto de sus grados, sobre un cuerpo algebraicamente cerrado.

Principio

El número de intersecciones en el plano proyectivo está gobernado por los grados: al tomar el cierre proyectivo y contar multiplicidades (incluyendo puntos en el infinito) se obtienen m·n intersecciones cuando no hay componentes comunes.

Demostración

Dos curvas de grados m y n (por ejemplo, una cónica de grado 2 y una cúbica de grado 3) suelen encontrarse en m·n = 6 puntos en el plano proyectivo si se cuentan multiplicidades y se trabaja sobre un cuerpo algebraicamente cerrado.

Aplicación incorrecta

Usarlo en el plano afín sin tener en cuenta los puntos en el infinito, ignorar la multiplicidad, o aplicarlo sobre un cuerpo no algebraicamente cerrado sin cambio de base; también es erróneo cuando las curvas comparten una componente.

Consecuencia

Proporciona un recuento predecible de intersecciones útil en teoría de eliminación y geometría enumerativa, y conduce a refinamientos (multiplicidad de intersección, matrices de Bézout, condiciones para factores comunes).

Inversión

Si dos curvas se cortan en menos de m·n puntos distintos, ese déficit se explica por multiplicidades, intersecciones en el infinito o una componente común; un aparente exceso señala multiplicidades o degeneraciones que el teorema contempla.

Límite

Supone trabajar en el plano proyectivo sobre un cuerpo algebraicamente cerrado y que las curvas no compartan una componente irreducible; no se aplica directamente a variedades de dimensión superior sin generalización ni a esquemas que requieran teoría de intersección refinada.

Tensión semántica

A menudo se confunde con la identidad de Bézout en teoría de números; dentro de la geometría compite con nociones locales de intersección (por ejemplo, multiplicidad esquema-teórica) que refinan el conteo de puntos sencillo.

Síntesis

El Teorema de Bézout organiza las intersecciones de curvas planas proyectivas: tras completar proyectivamente y contar multiplicidades sobre un cuerpo algebraicamente cerrado, los grados se multiplican para dar el recuento total salvo en caso de componentes comunes.