Résultat de l'analyse complexe affirmant que toute fonction entière (holomorphe sur tout le plan complexe) qui est bornée est nécessairement constante.

Principe

La combinaison d'une holomorphie globale et d'une bornitude sur C entraîne l'annulation de toutes les dérivées complexes d'ordre supérieur, empêchant toute variation non triviale.

Démonstration

Si f est entière et |f(z)| ≤ M pour tout z, les estimations de Cauchy donnent |f^{(n)}(0)| ≤ n! M / R^n pour tout R; en faisant tendre R vers l'infini, toutes les dérivées d'ordre ≥1 s'annulent, donc f est constante.

Mauvaise application

Appliquer le théorème à des fonctions seulement bornées sur un sous-ensemble propre de C, à des fonctions méromorphes, ou à des fonctions seulement différentiables réelles; ou déduire la constance à partir d'une bornitude locale sans holomorphie globale.

Conséquence

Impose une contrainte forte sur la croissance des fonctions entières, sert à démontrer le théorème fondamental de l'algèbre (en l'appliquant à 1/p(z) pour un polynôme non constant) et exclut des comportements entiers bornés non triviaux.

Inversion

Contraposée : toute fonction entière non constante est non bornée sur C ; autrement dit, une fonction entière non constante prend des valeurs de module arbitrairement grand.

Limite

Exige l'holomorphie sur l'intégralité du plan complexe et la bornitude sur C. Ne s'applique pas aux fonctions avec pôles, aux fonctions holomorphes seulement sur un domaine propre, ni aux fonctions bornées seulement sur des sous-ensembles.

Tension sémantique

Tension sémantique avec l'intuition d'analyse réelle où des fonctions différentiables bornées peuvent être non constantes ; en analyse complexe, l'holomorphie globale est beaucoup plus contraignante.

Synthèse

Le Théorème de Liouville établit que l'holomorphie globale combinée à la bornitude annule toute variabilité non triviale : les seules fonctions entières bornées sont les constantes.