Ein Resultat der komplexen Analysis, das besagt, dass jede ganze (über ℂ holomorphe) und beschränkte Funktion konstant ist.

Prinzip

Ganze Holomorphie auf der gesamten komplexen Ebene zusammen mit globaler Beschränktheit impliziert, dass alle höheren Ableitungen verschwinden, sodass keine nichttriviale Veränderung möglich ist.

Demonstration

Ist f ganz und |f(z)| ≤ M für alle z, liefern Cauchy-Schätzungen |f^{(n)}(0)| ≤ n! M / R^n für jedes R; schickt man R → ∞, verschwinden alle Ableitungen höheren Grades und f ist konstant.

Fehlanwendung

Anwendung auf Funktionen, die nur auf einem Teilgebiet beschränkt sind, auf meromorphe Funktionen oder auf reell differenzierbare Funktionen; oder aus lokaler Beschränktheit ohne ganze Holomorphie Konstanz folgern.

Konsequenz

Setzt starke Wachstumsbeschränkungen für ganze Funktionen, ermöglicht etwa den Beweis des Fundamentalsatzes der Algebra (durch Anwendung auf 1/p(z)) und schließt nichtkonstante beschränkte ganze Funktionen aus.

Umkehrung

Die Umkehrung: Eine nichtkonstante ganze Funktion muss auf ℂ unbeschränkt sein; das Vorhandensein einer nichtkonstanten ganzen Funktion impliziert Werte beliebig großen Betrags.

Abgrenzung

Voraussetzung ist Holomorphie auf der gesamten komplexen Ebene und Beschränktheit auf ℂ. Gilt nicht für Funktionen mit Polen, nur auf Teilgebieten holomorphe Funktionen oder für Beschränktheit nur auf Teilmengen.

Semantische Spannung

Spannung gegenüber der reellen Analysis, wo beschränkte differenzierbare Funktionen nicht zwangsläufig konstant sind; in der komplexen Analysis ist Holomorphie viel restriktiver.

Synthese

Das Satz von Liouville verbindet globale Holomorphie und Beschränktheit: Auf der gesamten komplexen Ebene erzwingen beide Bedingungen, dass die Funktion konstant ist.