Resultado del análisis complejo que afirma que toda función entera (holomorfa en todo el plano complejo) que sea acotada debe ser constante.

Principio

La holomorfía global combinada con acotación sobre C fuerza la anulación de todas las derivadas complejas superiores, impidiendo variación no trivial.

Demostración

Si f es entera y |f(z)| ≤ M para todo z, las estimaciones de Cauchy dan |f^{(n)}(0)| ≤ n! M / R^n para cualquier R; al llevar R → ∞ se anulan todas las derivadas de orden ≥1, por lo que f es constante.

Aplicación incorrecta

Aplicar el teorema a funciones que solo están acotadas en un subconjunto propio de C, a funciones meromorfas, o a funciones diferenciables reales; o concluir constancia por acotación local sin holomorfía global.

Consecuencia

Impone una restricción firme sobre el crecimiento de funciones enteras, se usa en la demostración del teorema fundamental del álgebra (aplicando a 1/p(z)) y descarta comportamientos enteros acotados no constantes.

Inversión

Contrapositiva: toda función entera no constante es no acotada en C; es decir, una función entera no constante alcanza módulos arbitrariamente grandes.

Límite

Requiere holomorfía en todo el plano complejo y acotación en C. No aplica a funciones con polos, a funciones holomorfas solo en un dominio propio ni a acotación solamente en subconjuntos.

Tensión semántica

Tensión con la intuición del análisis real, donde funciones diferenciables acotadas pueden ser no constantes; en análisis complejo la holomorfía global es mucho más fuerte.

Síntesis

El Teorema de Liouville conecta holomorfía global y acotación: en el plano complejo entero estas condiciones obligan a que la función sea constante.