Théorème topologique affirmant que toute courbe fermée simple (image continue injective du cercle) dans le plan sépare le plan en exactement deux régions : une région intérieure bornée et une région extérieure non bornée, la courbe étant leur frontière commune.

Principe

Une courbe fermée simple du plan est homéomorphe au cercle et son complémentaire dans R^2 a exactement deux composantes connexes ; l'une est bornée (l'intérieur) et l'autre non bornée (l'extérieur), et la courbe est la frontière de chacune.

Démonstration

Pour un cercle ordinaire le théorème est immédiat : le disque est l'intérieur et le complémentaire l'extérieur. Plus remarquablement, même des courbes fermées simples très irrégulières (y compris non différentiables partout) séparent le plan de la même manière, conformément au théorème de Jordan.

Mauvaise application

Supposer que le résultat de séparation vaut pour des courbes auto-intersectantes, pour des plongements non planaires ou en dimensions supérieures sans modification ; considérer le théorème comme fournissant une méthode constructive pour trouver l'intérieur dans des cas pathologiques est également un abus.

Conséquence

Fournit une base rigoureuse pour les notions intuitives d'intérieur et d'extérieur en topologie plane, sous-tend des résultats en théorie des graphes planaires, analyse complexe (intégrales de contour) et soutient des arguments utilisant le nombre d'enroulement et l'indice.

Inversion

Une courbe non simple (avec auto-intersections) ne sépare pas nécessairement le plan en exactement deux régions ; de même, en trois dimensions une courbe fermée ne sépare pas en général l'espace en deux régions (la dualité d'Alexander diffère en dimensions supérieures).

Limite

S'applique aux plongements continus du cercle dans le plan (courbes fermées simples) ; exclut les courbes avec auto-intersections, les plongements dans d'autres surfaces sans vérifier la genre, et les analogues en dimensions supérieures qui exigent des hypothèses différentes.

Tension sémantique

Tension entre l'intuition géométrique d'« intérieur » et la formulation topologique : pour des courbes simples pathologiques l'intérieur peut être topologiquement compliqué, si bien que l'intuition basée sur frontières lisses ou convexes est trompeuse.

Synthèse

Le théorème de la courbe de Jordan formalise le fait intuitif selon lequel une courbe plane simple et fermée divise le plan en deux régions complémentaires dont la courbe est la frontière commune ; sa validité même pour des courbes très irrégulières est un résultat central de la topologie.