Topologischer Satz, der aussagt, dass jede einfache geschlossene Kurve (ein stetiges injektives Bild des Kreises) in der Ebene die Ebene in genau zwei Gebiete trennt: ein inneres beschränktes Gebiet und ein äußeres unbeschränktes Gebiet, wobei die Kurve ihre gemeinsame Grenze ist.

Prinzip

Eine einfache geschlossene Kurve in der Ebene ist zum Kreis homöomorph und ihr Komplement in R^2 hat genau zwei zusammenhängende Komponenten; eine Komponente ist beschränkt (innen), die andere unbeschränkt (außen), und die Kurve ist der Rand beider Komponenten.

Demonstration

Für einen gewöhnlichen Kreis ist der Satz unmittelbar: die Scheibe ist das Innere und das Komplement das Äußere. Erstaunlich ist, dass auch sehr zerklüftete stetige einfache geschlossene Kurven (auch überall nicht differenzierbare) die Ebene auf dieselbe Weise trennen, wie der Jordan'sche Kurvensatz garantiert.

Fehlanwendung

Zu glauben, das Trennungsergebnis gelte für selbstschneidende Kurven, für nicht-planare Einbettungen oder in höheren Dimensionen ohne Anpassung; ebenso ist es ein Missbrauch, den Satz als konstruktives Verfahren zum Finden des Inneren in pathologischen Fällen zu verwenden.

Konsequenz

Legt die formale Grundlage für das intuitive Innenseiten-/Außenseitenkonzept in der Ebenentopologie, stützt Erkenntnisse der planaren Graphentheorie, komplexen Analysis (Konturintegrale) und nutzt Windungszahl und Index in Argumenten.

Umkehrung

Eine nicht einfache Kurve (mit Selbstschnittpunkten) muss die Ebene nicht in genau zwei Regionen trennen; ebenso trennt in drei Dimensionen eine geschlossene Kurve den Raum im Allgemeinen nicht in zwei Regionen (Alexander-Dualität unterscheidet sich höherdimensional).

Abgrenzung

Gilt für stetige Einbettungen des Kreises in die Ebene (einfache geschlossene Kurven); schließt Kurven mit Selbstschnittpunkten aus, sowie Einbettungen in andere Flächen ohne Prüfung des Geschlechts, und höhere-dimensionale Analoga benötigen andere Voraussetzungen.

Semantische Spannung

Spannung zwischen der intuitiven geometrischen Vorstellung von "innen" und der topologischen Formulierung: bei pathologischen einfachen Kurven kann das Innen topologisch kompliziert sein, sodass die Intuition von glatten oder konvexen Grenzen trügerisch ist.

Synthese

Der Jordan'sche Kurvensatz formt die intuitive Aussage, dass eine einfache geschlossene Kurve in der Ebene die Ebene in zwei komplementäre Gebiete teilt und die Kurve ihre gemeinsame Grenze ist; die Gültigkeit auch für sehr unregelmäßige Kurven ist ein zentrales topologisches Ergebnis.