Teorema topológico que afirma que toda curva cerrada simple (imagen continua e inyectiva del círculo) en el plano separa el plano en exactamente dos regiones: una interior acotada y una exterior no acotada, teniendo la curva la frontera común de ambas.

Principio

Una curva cerrada simple en el plano es homeomorfa al círculo y su complemento en R^2 tiene exactamente dos componentes conexas; una componente es acotada (el interior) y la otra no acotada (el exterior), y la curva es la frontera de cada componente.

Demostración

Para un círculo ordinario el teorema es inmediato: el disco es el interior y el complemento es el exterior. Más notablemente, incluso curvas cerradas simples muy irregulares (incluidas aquellas no diferenciables en ningún punto) siguen separando el plano de la misma manera, según el teorema de Jordan.

Aplicación incorrecta

Suponer que el resultado de separación vale para curvas con auto-intersecciones, para incrustaciones no planas o en dimensiones superiores sin modificación; tratar el teorema como un método constructivo para hallar el interior en casos patológicos también es un uso indebido.

Consecuencia

Proporciona la base rigurosa para las nociones intuitivas de dentro y fuera en la topología del plano, sustenta resultados en teoría de grafos planares, análisis complejo (integrales de contorno) y apoya argumentos usando número de vueltas e índice.

Inversión

Una curva no simple (con auto-intersecciones) no necesariamente separa el plano en exactamente dos regiones; de igual modo, en tres dimensiones una curva cerrada no suele separar el espacio en dos regiones (la dualidad de Alexander difiere en dimensiones superiores).

Límite

Se aplica a incrustaciones continuas del círculo en el plano (curvas cerradas simples); excluye curvas con auto-intersecciones, incrustaciones en otras superficies sin comprobar el género, y los análogos en dimensiones superiores requieren hipótesis distintas.

Tensión semántica

Tensión entre la intuición geométrica de "interior" y la formulación topológica: para curvas simples patológicas el interior puede ser topológicamente complicado, de modo que la intuición basada en fronteras suaves o convexas puede engañar.

Síntesis

El teorema de la curva de Jordan formaliza la idea intuitiva de que una curva cerrada simple en el plano divide el plano en dos regiones complementarias cuya frontera común es la curva; su validez incluso para curvas muy irregulares es una piedra angular de la topología.