La paire de résultats reliés qui relient la dérivation et l'intégration définie : (1) si f est intégrable sur [a,b] et F(x)=∫_a^x f(t) dt alors F est une primitive de f là où f est continue ; (2) si F est une primitive de f intégrable sur [a,b], alors ∫_a^b f(x) dx = F(b)−F(a).

Principe

La dérivation et l'intégration sont des opérations inverses sous régularité appropriée : l'intégration accumule les variations infinitésimales tandis que la dérivation retrouve le taux instantané, et sous continuité ces opérations se neutralisent à une constante près.

Démonstration

Exemple concret : pour f(x)=2x sur [0,1], poser F(x)=∫_0^x 2t dt = x^2 ; alors F'(x)=2x=f(x), et ∫_0^1 2x dx = F(1)−F(0)=1−0=1.

Mauvaise application

Utiliser le théorème sans vérifier les hypothèses, par exemple appliquer la formule de la primitive à une fonction trop discontinue ou non intégrable ; confondre l'intégrale indéfinie (famille de primitives) et l'intégrale définie (nombre) est une erreur fréquente.

Conséquence

Il fournit une méthode pratique pour calculer des intégrales définies via des primitives et montre l'unité conceptuelle entre accumulation et variation instantanée, fondement de l'analyse, des équations différentielles et du calcul appliqué.

Inversion

Si l'on inverse les hypothèses de régularité (par ex. fonction intégrable mais sans primitive partout), la relation réciproque naïve échoue ; l'existence d'une primitive n'implique pas toujours la continuité de l'intégrande sans conditions supplémentaires.

Limite

Exige des hypothèses adaptées : continuité (ou des conditions plus faibles comme l'intégrabilité et la différentiabilité presque partout) sur l'intervalle pour les formulations standards. Ne s'applique pas aux distributions arbitraires, fonctions non intégrables, ni aux intervalles sans orientation adaptée.

Tension sémantique

Tension entre l'énoncé existentiel (existence d'une primitive sous conditions) et la pratique de calcul (trouver une primitive en forme close peut être impossible), et entre l'intégrale indéfinie comme famille et l'intégrale définie comme valeur fixée.

Synthèse

Le théorème fondamental du calcul unit intégration et différentiation : sous régularité prescrite, intégrer puis dériver ramène la fonction initiale, et les primitives permettent d'évaluer les intégrales définies par les bornes.