El par de resultados relacionados que vinculan derivación e integración definida: (1) si f es integrable en [a,b] y F(x)=∫_a^x f(t) dt entonces F es una antiderivada de f donde f es continua; (2) si F es cualquier antiderivada de una función integrable f en [a,b], entonces ∫_a^b f(x) dx = F(b)−F(a).

Principio

Derivación e integración son procesos inversos bajo regularidad adecuada: la integración acumula cambios infinitesimales y la derivación recupera la tasa instantánea, y bajo continuidad se anulan entre sí salvo una constante.

Demostración

Ejemplo concreto: para f(x)=2x en [0,1], tomar F(x)=∫_0^x 2t dt = x^2; entonces F'(x)=2x=f(x), y ∫_0^1 2x dx = F(1)−F(0)=1.

Aplicación incorrecta

Aplicar el teorema sin comprobar hipótesis, por ejemplo usar la fórmula de antiderivadas con una función excesivamente discontinua o no integrable; confundir la integral indefinida (familia de antiderivadas) con la integral definida (número) es otro error común.

Consecuencia

Proporciona un método práctico para calcular integrales definidas mediante antiderivadas y muestra la unidad conceptual entre acumulación y cambio instantáneo, siendo fundamental para el análisis, las ecuaciones diferenciales y el cálculo aplicado.

Inversión

Si se invierten las hipótesis de regularidad (por ejemplo, integrable pero sin antiderivada en todo el intervalo), la relación inversa ingenua falla; la existencia de una antiderivada no implica siempre la continuidad del integrando sin condiciones adicionales.

Límite

Requiere hipótesis apropiadas: continuidad (o condiciones más débiles como integrabilidad y diferenciabilidad casi en todas partes) en el intervalo para las formulaciones estándar. No se aplica a distribuciones arbitrarias, funciones no integrables ni a intervalos sin orientación adecuada.

Tensión semántica

Tensión entre la afirmación existencial (existencia de antiderivada bajo condiciones) y la práctica computacional (encontrar una antiderivada en forma cerrada puede ser imposible), y entre la integral indefinida como familia y la definida como valor fijo.

Síntesis

El Teorema Fundamental del Cálculo une integración y diferenciación: con la regularidad exigida, integrar y luego derivar devuelve la función original, y las antiderivadas permiten evaluar integrales definidas mediante las evaluaciones en los extremos.