Das Paar verwandter Aussagen, das Differentiation und bestimmte Integration verknüpft: (1) ist f auf [a,b] integrierbar und F(x)=∫_a^x f(t) dt, so ist F dort, wo f stetig ist, eine Stammfunktion von f; (2) ist F eine Stammfunktion einer integrierbaren Funktion f auf [a,b], dann gilt ∫_a^b f(x) dx = F(b)−F(a).

Prinzip

Differentiation und Integration sind unter geeigneter Regularität inverse Prozesse: Integration sammelt infinitesimale Beiträge, Differentiation stellt die momentane Änderungsrate wieder her, und bei Stetigkeit heben sich die Operationen bis auf eine Konstante auf.

Demonstration

Konkretes Beispiel: für f(x)=2x auf [0,1] sei F(x)=∫_0^x 2t dt = x^2; dann ist F'(x)=2x=f(x) und ∫_0^1 2x dx = F(1)−F(0)=1.

Fehlanwendung

Den Satz anzuwenden, ohne die Voraussetzungen zu prüfen, etwa die Formel für Stammfunktionen auf eine zu unstetige oder nicht integrierbare Funktion zu verwenden; häufige Verwechslung ist die zwischen unbestimmtem Integral (Stammfunktionenfamilie) und bestimmtem Integral (Zahl).

Konsequenz

Er liefert ein praktisches Verfahren zur Berechnung bestimmter Integrale über Stammfunktionen und zeigt die konzeptionelle Einheit von Akkumulation und momentaner Änderung; grundlegend für Analysis, Differentialgleichungen und angewandte Mathematik.

Umkehrung

Wird die Regularität umgekehrt (z. B. integrierbar, aber keine Stammfunktion überall vorhanden), versagt die naive Umkehrrelation; die Existenz einer Stammfunktion impliziert nicht ohne weiteres Stetigkeit des Integranden ohne zusätzliche Annahmen.

Abgrenzung

Erfordert geeignete Voraussetzungen: Stetigkeit (oder schwächere Bedingungen wie Integrierbarkeit und fast überall Differenzierbarkeit) auf dem Intervall für die Standardformulierungen. Gilt nicht für beliebige Distributionen, nicht integrierbare Funktionen oder Intervalle ohne passende Orientierung.

Semantische Spannung

Spannung zwischen der existenziellen Aussage (Stammfunktion existiert unter Bedingungen) und der rechnerischen Praxis (Stammfunktion in geschlossener Form finden kann unmöglich sein) sowie zwischen unbestimmtem Integral als Familie und bestimmtem Integral als feste Größe.

Synthese

Der Fundamentalsatz der Analysis verbindet Integration und Differentiation: unter vorgeschriebener Regularität führt Integration gefolgt von Differentiation zurück zur Ausgangsfunktion, und Stammfunktionen erlauben die Auswertung bestimmter Integrale durch Randwerte.