Théorème affirmant que pour tout ensemble S, l'ensemble des parties P(S) (tous les sous-ensembles de S) a une cardinalité strictement supérieure à celle de S ; en particulier, il n'existe pas de surjection de S sur P(S).

Principe

Diagonalisation : construire un sous-ensemble de S qui diffère de chaque sous-ensemble d'une liste proposée en choisissant des éléments sur la diagonale, montrant qu'aucun énumération ne peut couvrir toutes les parties et donc qu'aucune surjection n'existe.

Démonstration

Pour toute fonction f : S → P(S), définir D = {x ∈ S : x ∉ f(x)} ; D est une partie de S mais elle ne peut être égale à f(x) pour aucun x car la présence de x dans D contredirait la condition, donc f n'est pas surjective.

Mauvaise application

Confondre le résultat de Cantor avec des affirmations sur des égalités de cardinaux particulières (par exemple conclure à tort que la puissance d'un ensemble infini est 'beaucoup plus grande' selon une mesure précise) ou appliquer l'argument diagonal à des classes propres sans précaution.

Conséquence

Établit une hiérarchie infinie de cardinalités strictement croissantes (S, P(S), P(P(S)), ...), prouve la non dénombrabilité des réels (via R ≈ P(N)) et restreint les bijections et surjections possibles entre un ensemble et son ensemble de parties.

Inversion

L'affirmation inverse — qu'un ensemble soit en bijection avec son ensemble de parties — est impossible pour des ensembles ; l'examen de l'inversion met en lumière la distinction entre ensembles et classes propres (où des phénomènes différents peuvent survenir).

Limite

S'applique aux ensembles dans ZF ; le théorème ne s'applique pas directement aux classes propres et ne décide pas à lui seul de la taille de P(S) par rapport à d'autres cardinaux infinis spécifiques (il garantit seulement une inégalité stricte).

Tension sémantique

Interagit avec le Théorème De Cantor–Bernstein–Schroeder : CB–S donne des conditions pour l'égalité des cardinalités à partir d'injections réciproques, tandis que le Théorème de Cantor fournit une inégalité unilatérale qui empêche toute surjection de S vers P(S).

Synthèse

Le Théorème De Cantor utilise une construction diagonale pour montrer que l'ensemble des sous-ensembles d'un ensemble ne peut être énuméré ni mis en bijection avec l'ensemble lui-même, entraînant une augmentation stricte de cardinalité lors du passage à l'ensemble des parties.