Satz, dass für jede Menge S die Potenzmenge P(S) (die Menge aller Teilmengen von S) eine strikt größere Mächtigkeit als S selbst besitzt; insbesondere gibt es keine Surjektion von S auf P(S).

Prinzip

Diagonalargument: Man konstruiert eine Teilmenge von S, die sich von jeder Teilmenge in einer vorgeschlagenen Aufzählung auf der Diagonalen unterscheidet, und zeigt so, dass keine Aufzählung alle Teilmengen erfassen kann und somit keine Surjektion existiert.

Demonstration

Zu jeder Abbildung f: S → P(S) definiere D = {x ∈ S : x ∉ f(x)}; D ist eine Teilmenge von S, kann aber nicht gleich f(x) für irgendein x sein, weil die Zugehörigkeit von x zu D einem Widerspruch mit der Definition entspricht; also ist f nicht surjektiv.

Fehlanwendung

Den Cantor-Satz mit Aussagen über bestimmte Kardinalgleichheiten verwechseln (z. B. fälschlich zu folgern, die Potenzmenge einer unendlichen Menge sei in einem bestimmten messbaren Sinn 'viel größer') oder das Diagonalargument unbedacht auf echte Klassen anwenden.

Konsequenz

Stellt eine unendliche Hierarchie von strikt wachsenden Mächtigkeiten auf (S, P(S), P(P(S)), ...), beweist die Abzählbarkeitslosigkeit der reellen Zahlen (da R ≈ P(N)) und beschränkt mögliche Bijektionen und Surjektionen zwischen Mengen und ihren Potenzmengen.

Umkehrung

Die Umkehrung — dass eine Menge mit ihrer Potenzmenge in Bijektion stehen könnte — ist für Mengen unmöglich; die Betrachtung der Inversion macht den Unterschied zwischen Mengen und echten Klassen deutlich, wo anderes Verhalten auftreten kann.

Abgrenzung

Gilt für Mengen in ZF; der Satz gilt nicht unmittelbar für echte Klassen und sagt nicht alleine die genaue Lage von P(S) gegenüber bestimmten anderen unendlichen Kardinalzahlen voraus (er garantiert nur eine strikte Ungleichheit).

Semantische Spannung

Steht in Wechselwirkung mit dem Cantor–Bernstein–Schröder-Satz: CB–S liefert Bedingungen für Gleichheit von Mächtigkeiten aus wechselseitigen Injektionen, während Cantors Satz eine einseitige strikte Ungleichheit liefert, die jede Surjektion von S nach P(S) verhindert.

Synthese

Cantors Satz nutzt eine diagonale Konstruktion, um zu zeigen, dass die Sammlung aller Teilmengen einer Menge nicht durch die Menge selbst aufgezählt oder bijektiv erfasst werden kann, was beim Übergang zur Potenzmenge eine nachweisliche, strikte Vergrößerung der Mächtigkeit zur Folge hat.