Teorema que para cualquier conjunto S la potencia P(S) (el conjunto de todos los subconjuntos de S) tiene cardinal estrictamente mayor que S; en particular no existe una sobreyección de S sobre P(S).

Principio

Diagonalización: construir un subconjunto de S que difiera de cada subconjunto en cualquier lista propuesta eligiendo elementos en la diagonal, demostrando que ninguna enumeración puede agotar todos los subconjuntos y por tanto no existe sobreyección.

Demostración

Dada una función f: S → P(S), definir D = {x ∈ S : x ∉ f(x)}; D es un subconjunto de S pero no puede ser f(x) para ningún x porque la pertenencia de x en D contradice la condición definitoria, por lo que f no es sobreyectiva.

Aplicación incorrecta

Confundir el resultado de Cantor con afirmaciones sobre igualdades de cardinales concretas (por ejemplo concluir erróneamente que la potencia de un conjunto infinito es 'mucho mayor' según una medida específica) o aplicar el argumento diagonal a clases propias sin cuidado.

Consecuencia

Establece una jerarquía infinita de cardinalidades estrictamente crecientes (S, P(S), P(P(S)), ...), prueba la no numerabilidad de los reales (vía R ≈ P(N)) y limita las posibles biyecciones y sobreyecciones entre conjuntos y sus potencias.

Inversión

La afirmación inversa — que un conjunto esté en biyección con su potencia — es imposible para conjuntos; considerar la inversión pone de relieve la distinción entre conjuntos y clases propias (donde pueden darse fenómenos distintos).

Límite

Se aplica a conjuntos en ZF; el teorema no se aplica directamente a clases propias y no decide por sí solo el tamaño de P(S) respecto a otras cardinalidades infinitas específicas (solo garantiza la desigualdad estricta).

Tensión semántica

Interacciona con el Teorema De Cantor–Bernstein–Schroeder: CB–S da condiciones para la igualdad de cardinalidades a partir de inyecciones mutuas, mientras Cantor proporciona una desigualdad unilateral que impide cualquier sobreyección de S a P(S).

Síntesis

El Teorema De Cantor usa una construcción diagonal para mostrar que la colección de todos los subconjuntos de un conjunto no puede ser listada ni emparejada por el propio conjunto, produciendo un aumento demostrable de cardinalidad al pasar a la potencia.