La trace d'un endomorphisme carré ou d'une matrice est la somme des coefficients diagonaux de toute matrice qui le représente ; équivalemment elle égale la somme des valeurs propres comptées selon leur multiplicité algébrique et est invariante par similitude.

Principe

La trace est une forme linéaire invariante par similitude : tr(A + B) = tr(A) + tr(B), tr(cA) = c tr(A), tr(S−1AS) = tr(A). Dans le polynôme caractéristique, la trace est (à signe près) le coefficient de λ^{n−1}.

Démonstration

Pour A = [[1,2],[0,3]] la somme des diagonales vaut 1 + 3 = 4, et les valeurs propres sont 1 et 3 donc leur somme est 4 ; tr(A) = 4 est invariante par changement de base.

Mauvaise application

Supposer que la trace détermine de façon unique le spectre ou les valeurs propres individuelles ; considérer la trace comme dépendant d'une représentation particulière au lieu de reconnaître son invariance de base ; ou utiliser des identités de trace hors du cadre algébrique valide.

Conséquence

La trace fournit un invariant spectral simple (somme des valeurs propres), est additive sur les décompositions en blocs diagonaux, et satisfait tr([A,B]) = 0 pour les commutateurs [A,B] = AB − BA, ce qui a des conséquences en théorie des représentations et en physique.

Inversion

Contraste avec le déterminant, qui agrège les valeurs propres de façon multiplicative (produit) et signale la singularité par son annulation ; la trace est un résumé spectral additif, non multiplicatif.

Limite

Bien définie pour les endomorphismes de dimension finie ; pour les opérateurs en dimension infinie la trace peut être indéfinie sauf pour les opérateurs de classe trace. La trace dépend du corps (problèmes de caractéristique) et concerne des endomorphismes carrés.

Tension sémantique

Tension avec le déterminant et le polynôme caractéristique complet : la trace donne seulement la première somme symétrique des valeurs propres, donc des spectres différents peuvent partager la même trace ; tension avec l'intuition des entrées de matrice car la similitude modifie les diagonales tout en préservant la trace.

Synthèse

La trace est l'invariant spectral linéaire égal à la somme des entrées diagonales ou des valeurs propres (avec multiplicité algébrique), linéaire et invariante par similitude, utile pour contrôles spectraux rapides et identités mais insuffisante pour reconstruire le spectre complet.