La traza de un endomorfismo cuadrado o matriz es la suma de las entradas diagonales de cualquier matriz que lo represente; equivalentemente, es la suma de los valores propios contados con multiplicidad algebraica y es invariante por similitud.

Principio

La traza es un funcional lineal, invariante por similitud: tr(A + B) = tr(A) + tr(B), tr(cA) = c tr(A), tr(S−1AS) = tr(A). En términos del polinomio característico, la traza es (salvo signo) el coeficiente de λ^{n−1}.

Demostración

Para A = [[1,2],[0,3]] la suma diagonal es 1 + 3 = 4, y los valores propios 1 y 3 suman 4; tr(A) = 4 se conserva al cambiar de base.

Aplicación incorrecta

Asumir que la traza determina de forma única el espectro o los valores propios individuales; tratar la traza como dependiente de una representación particular en vez de su invariancia de base; o usar identidades de traza fuera de su contexto algebraico válido.

Consecuencia

La traza proporciona un invariante espectral simple (suma de valores propios), es aditiva en descomposiciones por bloques diagonales y satisface tr([A,B]) = 0 para conmutadores [A,B] = AB − BA, con consecuencias en teoría de representaciones y física.

Inversión

Contraste con el determinante, que agrega multiplicativamente los valores propios (producto) y cuya anulación indica singularidad; la traza es un resumen espectral aditivo, no multiplicativo.

Límite

Bien definida para endomorfismos de dimensión finita; para operadores en espacios de dimensión infinita la traza puede ser indefinida salvo para operadores de clase trazable. La traza depende del campo (cuestiones de característica) y se aplica a endomorfismos cuadrados.

Tensión semántica

Tensión con el determinante y el polinomio característico completo: la traza solo da la primera suma simétrica de los valores propios, por lo que espectros distintos pueden compartir la misma traza; tensión con la intuición sobre las entradas de la matriz porque la similitud cambia las diagonales manteniendo la traza.

Síntesis

La traza es el invariante espectral lineal igual a la suma de las entradas diagonales o de los valores propios (con multiplicidad algebraica), lineal e invariante por similitud, útil para comprobaciones espectrales rápidas e identidades pero insuficiente para recuperar el espectro completo.