Die Spur (Trace) eines quadratischen Endomorphismus oder einer Matrix ist die Summe der Diagonaleinträge einer darstellenden Matrix; äquivalent ist sie die Summe der Eigenwerte gezählt mit algebraischer Vielfachheit und ist unter Ähnlichkeit invariant.

Prinzip

Die Spur ist eine lineare, similarity‑invariante Funktional: tr(A + B) = tr(A) + tr(B), tr(cA) = c tr(A), tr(S−1AS) = tr(A). Im charakteristischen Polynom entspricht die Spur (bis auf Vorzeichen) dem Koeffizienten von λ^{n−1}.

Demonstration

Für A = [[1,2],[0,3]] ist die Diagonalsumme 1 + 3 = 4, die Eigenwerte sind 1 und 3, ihre Summe ist 4; tr(A) = 4 bleibt unter Basiswechsel unverändert.

Fehlanwendung

Anzunehmen, die Spur bestimme eindeutig das Spektrum oder einzelne Eigenwerte; die Spur als abhängig von einer bestimmten Darstellung zu behandeln statt ihrer Basisinvarianz; oder Spurenidentitäten außerhalb ihres gültigen algebraischen Rahmens zu verwenden.

Konsequenz

Die Spur liefert ein einfaches spektrales Invariant (Summe der Eigenwerte), ist additiv für Blockdiagonalzerlegungen und erfüllt tr([A,B]) = 0 für Kommutatoren [A,B] = AB − BA, was Konsequenzen in Darstellungstheorie und Physik hat.

Umkehrung

Gegenüberstellung zum Determinantenbegriff, der Eigenwerte multiplicativ aggregiert (Produkt) und durch Nullstellen Singulärität anzeigt; die Spur ist eine additive Spektralzusammenfassung, kein multiplikatives Maß.

Abgrenzung

Wohl definiert für endlichdimensionale Endomorphismen; bei Operatoren in unendlichdimensionalen Räumen ist die Spur außer für Spurklasseoperatoren oft undefiniert. Die Spur hängt vom Körper ab (Probleme der Charakteristik) und gilt für quadratische Endomorphismen.

Semantische Spannung

Spannung zum Determinanten und zum vollständigen charakteristischen Polynom: die Spur gibt nur die erste symmetrische Summe der Eigenwerte, daher können unterschiedliche Spektren dieselbe Spur haben; Spannung zur Intuition über Matrixeinträge, da Ähnlichkeit die Diagonalen verändert aber die Spur erhält.

Synthese

Die Spur ist das lineare spektrale Invariant, gleich der Summe der Diagonaleinträge oder Eigenwerte (mit algebraischer Vielfachheit), linear und similarity‑invariant, nützlich für schnelle spektrale Prüfungen und Identitäten, aber unzureichend zur Rekonstruktion des vollständigen Spektrums.