La nullité d'une transformation linéaire est la dimension de son noyau (espace nul), c'est‑à‑dire le sous‑espace des vecteurs envoyés sur le vecteur nul. Elle mesure le nombre de directions indépendantes écrasées par l'application.

Principe

Nullité = dim ker(A). Pour une application linéaire d'un domaine de dimension n, le théorème rang–nullité donne rang + nullité = n, donc nullité = n − rang.

Démonstration

Si A : R^3 → R^3 a une forme échelonnée réduite avec deux colonnes pivots, alors rang(A) = 2 et nullité(A) = 3 − 2 = 1 ; il existe une famille 1‑dimensionnelle de solutions homogènes Ax = 0.

Mauvaise application

Supposer que la nullité est égale au nombre de lignes nulles après opérations de lignes faites sans suivre la structure des colonnes, ou confondre la nullité avec la multiplicité algébrique de la valeur propre 0 sans distinguer comptes géométriques et algébriques.

Conséquence

La nullité donne la dimension de l'espace des solutions du système homogène, compte les paramètres libres dans les solutions générales et indique le degré de non‑injectivité d'une application linéaire.

Inversion

L'invariant complémentaire est le rang : augmenter la nullité réduit le rang (pour une dimension de domaine fixée) ; une application de nullité nulle est injective sur le domaine.

Limite

Standard en algèbre linéaire finie ; en espaces de dimension infinie le noyau peut être de dimension infinie et la forme simple du théorème rang–nullité peut ne pas s'appliquer. La nullité se rapporte aux noyaux linéaires, pas aux multiplicités algébriques sauf pour la valeur propre 0 où la nullité = multiplicité géométrique de 0.

Tension sémantique

Tension avec la multiplicité algébrique de la valeur propre zéro : la nullité égale la multiplicité géométrique de l'autovaleur 0, qui peut être inférieure à sa multiplicité algébrique ; tension avec les notions intuitives de « lignes nulles » ou de parcimonie des entrées.

Synthèse

La nullité quantifie combien de directions indépendantes sont écrasées en zéro par une application linéaire ; via le théorème rang–nullité elle s'associe au rang pour partitionner la dimension du domaine et détermine la structure des espaces de solutions homogènes.