Die Nullität einer linearen Abbildung ist die Dimension ihres Kerns (Nullraums), also des Unterraums der Vektoren, die auf den Nullvektor abgebildet werden. Sie misst, wie viele unabhängige Richtungen von der Abbildung zusammengefallen werden.

Prinzip

Nullität = dim ker(A). Für eine Abbildung mit n‑dimensionalem Definitionsraum gilt nach Rang‑Nullität: Rang + Nullität = n, also Nullität = n − Rang.

Demonstration

Hat A: R^3 → R^3 in Zeilenstufenform zwei Pivotspalten, so ist Rang(A) = 2 und Nullität(A) = 3 − 2 = 1; es gibt einen eindimensionalen Freiheitsgrad der homogenen Lösungen von Ax = 0.

Fehlanwendung

Anzunehmen, Nullität entspreche der Anzahl Nullzeilen nach naiven Zeilenoperationen ohne Beachtung der Spaltenstruktur, oder Nullität mit der algebraischen Vielfachheit des Eigenwerts 0 gleichzusetzen ohne zwischen geometrischer und algebraischer Vielfachheit zu unterscheiden.

Konsequenz

Nullität gibt die Dimension des Lösungsraums homogener Gleichungssysteme an, zählt freie Parameter in allgemeinen Lösungen und zeigt den Grad der Nichtinjektivität einer linearen Abbildung an.

Umkehrung

Das komplementäre Invariant ist der Rang: wird die Nullität größer, verringert sich der Rang (bei fester Definitionsraumdimension); eine Abbildung mit Nullität Null ist injektiv.

Abgrenzung

Standard in der endlichdimensionalen Linearen Algebra; in unendlichdimensionalen Räumen kann der Kern unendlichdimensional sein und die einfache Form des Rang‑Nullitätssatzes gilt nicht unbedingt. Nullität bezieht sich auf lineare Kerne, nicht auf algebraische Vielfachheiten außer beim Eigenwert 0, wo Nullität = geometrische Vielfachheit von 0 ist.

Semantische Spannung

Spannung zur algebraischen Vielfachheit des Null‑Eigenwerts: Nullität entspricht der geometrischen Vielfachheit von 0, die kleiner als die algebraische Vielfachheit sein kann; Spannung zur intuitiven Vorstellung von „Nullzeilen“ oder Sparsity.

Synthese

Nullität quantifiziert, wie viele unabhängige Richtungen von einer linearen Abbildung zu null zusammenfallen; gemeinsam mit dem Rang partitioniert sie nach Rang‑Nullität die Dimension des Definitionsraums und bestimmt die Struktur homogener Lösungsräume.