La nulidad de una transformación lineal es la dimensión de su núcleo (espacio nulo), es decir, el subespacio de vectores que se envían al vector cero. Mide cuántas direcciones independientes colapsa la aplicación.

Principio

Nulidad = dim ker(A). Para una aplicación lineal con dominio de dimensión n, el teorema rango–nulidad afirma rango + nulidad = n, por lo que nulidad = n − rango.

Demostración

Si A: R^3 → R^3 tiene en su forma escalonada dos columnas pivote, entonces rango(A) = 2 y nulidad(A) = 3 − 2 = 1; existe una familia unidimensional de soluciones homogéneas a Ax = 0.

Aplicación incorrecta

Suponer que la nulidad es igual al número de filas nulas tras operaciones de fila sin seguir la estructura de columnas, o equiparar nulidad con la multiplicidad algebraica del valor propio 0 sin distinguir multiplicidades geométrica y algebraica.

Consecuencia

La nulidad da la dimensión del espacio de soluciones de sistemas homogéneos, cuenta parámetros libres en soluciones generales e indica el grado de no inyectividad de una transformación lineal.

Inversión

El invariante complementario es el rango: aumentar la nulidad reduce el rango (con dimensión de dominio fija); una transformación con nulidad cero es inyectiva.

Límite

Estándar en álgebra lineal finita; en espacios de dimensión infinita el núcleo puede ser de dimensión infinita y la forma simple del teorema rango–nulidad puede no aplicarse. La nulidad se refiere a núcleos lineales, no a multiplicidades algebraicas salvo para el valor propio 0, donde nulidad = multiplicidad geométrica de 0.

Tensión semántica

Tensión con la multiplicidad algebraica del valor propio cero: la nulidad coincide con la multiplicidad geométrica de 0, que puede ser menor que su multiplicidad algebraica; tensión con ideas intuitivas de 'filas cero' o sparsity.

Síntesis

La nulidad cuantifica cuántas direcciones independientes colapsan a cero por una aplicación lineal; mediante el teorema rango–nulidad se complementa con el rango para particionar la dimensión del dominio y determina la estructura de los espacios solución homogéneos.