Le rang d'une application linéaire (ou d'une matrice) est la dimension de son image (espace des colonnes) ; équivalemment, le nombre maximal de colonnes ou de lignes linéairement indépendantes dans une matrice la représentant.

Principe

Calculer le rang en trouvant dim Im(A) ou le nombre de colonnes pivots dans une forme échelonnée réduite. Pour une application V → W de domaine de dimension finie, rang ≤ dim(domaine).

Démonstration

Pour A = [[1,2,3],[2,4,6],[0,0,1]] la deuxième ligne est le double de la première et la troisième est indépendante, donc l'espace engendré par les colonnes a dimension 2 et rang(A) = 2.

Mauvaise application

Confondre le rang avec le nombre d'entrées non nulles d'une matrice, ou supposer qu'un déterminant nul précise à lui seul combien de directions indépendantes sont perdues sans analyse complémentaire.

Conséquence

Le rang détermine les propriétés de résolution des systèmes linéaires (existence de solutions, dimension des espaces de solutions), la dimension des images des transformations linéaires, et intervient directement dans le théorème rang–nullité.

Inversion

Le concept complémentaire est la nullité : tandis que le rang mesure la dimension de l'image, la nullité mesure la dimension du noyau ; ensemble elles somment à la dimension du domaine en dimension finie.

Limite

Généralement formulé pour des espaces vectoriels et matrices de dimension finie ; pour des opérateurs en dimension infinie la notion de rang peut être infinie ou nécessiter des approximations de rang fini. Le rang porte sur l'indépendance linéaire, non sur la magnitude numérique des éléments.

Tension sémantique

Tension avec le déterminant : le déterminant indique si un carré est de rang plein (inversible) mais ne quantifie pas le rang partiel ; tension avec la multiplicité algébrique survient en interprétant les valeurs propres nulles et leurs multiplicités.

Synthèse

Le rang est la mesure linéaire du nombre de directions de sortie indépendantes produites par une application linéaire ; il se calcule par l'image ou les pivots, contrôle la résolubilité et les compromis dimensionnels avec la nullité, et sous-tend de nombreux résultats structuraux sur les matrices.