El rango de una aplicación lineal (o matriz) es la dimensión de su imagen (espacio de columnas); equivalentemente, el número máximo de columnas o filas linealmente independientes en cualquier matriz que represente la aplicación.

Principio

Calcular el rango encontrando dim Im(A) o el número de columnas pivote en una forma escalonada reducida. Para una aplicación V → W con dominio de dimensión finita, rango ≤ dim(dominio).

Demostración

Para A = [[1,2,3],[2,4,6],[0,0,1]] la segunda fila es el doble de la primera y la tercera es independiente, así que el espacio columna tiene dimensión 2 y rango(A) = 2.

Aplicación incorrecta

Equiparar rango con el número de entradas no nulas de una matriz, o asumir que un determinante nulo indica exactamente cuántas direcciones independientes se han perdido sin más análisis.

Consecuencia

El rango determina propiedades de solvencia de sistemas lineales (existencia de soluciones, dimensión del espacio de soluciones), la dimensión de imágenes de transformaciones lineales y participa directamente en el teorema rango–nulidad.

Inversión

El concepto complementario es la nulidad: mientras el rango mide la dimensión de la imagen, la nulidad mide la dimensión del núcleo; juntos suman la dimensión del dominio en dimensiones finitas.

Límite

Generalmente formulado para espacios vectoriales y matrices de dimensión finita; para operadores en dimensión infinita la noción de rango puede ser infinita o requerir aproximaciones de rango finito. El rango trata la independencia lineal, no la magnitud numérica de las entradas.

Tensión semántica

Tensión con el determinante: el determinante indica si una matriz cuadrada tiene rango completo (es invertible) pero no cuantifica el rango parcial; tensión con la multiplicidad algebraica aparece al interpretar valores propios cero y sus multiplicidades.

Síntesis

El rango es la medida lineal del número de direcciones de salida independientes que produce una aplicación lineal; se calcula por la imagen o por pivotes, controla la solvencia y el intercambio dimensional con la nulidad, y sostiene muchos resultados estructurales sobre matrices.