Der Rang einer linearen Abbildung (bzw. Matrix) ist die Dimension ihres Bildes (Spaltenraum); äquivalent die maximale Anzahl linear unabhängiger Spalten- oder Zeilenvektoren einer darstellenden Matrix.

Prinzip

Den Rang berechnet man als dim Im(A) oder als Anzahl der Pivotspalten in der Zeilenstufenform. Für eine Abbildung V → W mit endlichdimensionalem Definitionsraum gilt Rang ≤ dim(Domäne).

Demonstration

Für A = [[1,2,3],[2,4,6],[0,0,1]] ist die zweite Zeile das doppelte der ersten und die dritte Zeile unabhängig, somit hat der Spaltenraum Dimension 2 und Rang(A) = 2.

Fehlanwendung

Den Rang mit der Anzahl nichtverschwindender Einträge gleichzusetzen, oder anzunehmen, eine Nulldeterminante gebe ohne weitere Analyse exakt an, wie viele unabhängige Richtungen verloren gingen.

Konsequenz

Der Rang bestimmt Lösbarkeitseigenschaften linearer Gleichungssysteme (Existenz von Lösungen, Dimension des Lösungsraums), die Dimension der Bilder linearer Abbildungen und tritt direkt im Rang–Nullitätssatz auf.

Umkehrung

Das komplementäre Konzept ist die Nullität: während der Rang die Bilddimension misst, misst die Nullität die Dimension des Kerns; zusammen ergeben sie in endlichen Dimensionen die Dimension des Definitionsraums.

Abgrenzung

Üblicherweise für endlichdimensionale Vektorräume und Matrizen formuliert; bei unendlichdimensionalen Operatoren kann der Rang unendlich sein oder es sind endliche Rangapproximationen nötig. Rang betrifft lineare Unabhängigkeit, nicht die numerische Größe von Einträgen.

Semantische Spannung

Spannung zum Determinantenbegriff: der Determinant zeigt Vollrang (Invertierbarkeit) bei quadratischen Matrizen an, quantifiziert jedoch keinen partiellen Rang; Spannung zur algebraischen Vielfachheit entsteht bei der Interpretation von Null-Eigenwerten und deren Vielfachheiten.

Synthese

Der Rang ist das linear‑algebraische Maß für die Anzahl unabhängiger Ausgangsrichtungen einer linearen Abbildung; er lässt sich via Bild oder Pivots berechnen, bestimmt Lösbarkeit und den dimensionsmäßigen Ausgleich zur Nullität und bildet die Grundlage vieler Matrizenresultate.