Un complexe exact I• constitué d'objets injectifs muni d'un monomorphisme M → I0 qui plonge l'objet ou module M donné de sorte que M → I• soit une quasi-isomorphie en degrés positifs ; utilisé pour calculer les foncteurs dérivés à droite en appliquant un foncteur gauche-exact à I• puis en prenant l'homologie.

Principe

Remplacer un objet par un complexe homologiquement équivalent construit à partir d'injectifs de façon que l'application d'un foncteur gauche-exact conserve suffisamment d'exactitude pour mesurer la défaillance d'exactitude par les groupes d'homologie.

Démonstration

Pour un R-module M sur un anneau possédant suffisamment d'injectifs, choisir une résolution injective 0 → M → I0 → I1 → I2 → ··· ; en appliquant Hom_R(−,N) on obtient un complexe dont la cohomologie en degré n est Ext^n_R(M,N).

Mauvaise application

Utiliser un plongement non exact ou un complexe d'objets non injectifs puis interpréter l'homologie obtenue comme les bons foncteurs dérivés à droite ; ou tenter d'utiliser une résolution injective pour calculer des foncteurs dérivés à gauche sans dualiser.

Conséquence

Les résolutions injectives correctement construites fournissent des foncteurs dérivés à droite bien définis (R^iF), des suites exactes longues en cohomologie et une invariance à homotopie ou quasi-isomorphisme ; elles permettent des calculs explicites d'Ext et de cohomologie de faisceaux dans les catégories appropriées.

Inversion

La résolution projective est la construction duale : elle résout les objets par des projectifs et sert à calculer les foncteurs dérivés à gauche comme Tor, et non les foncteurs dérivés à droite.

Limite

Existe et est utile dans les catégories abéliennes disposant d'assez d'injectifs ; dans les catégories sans assez d'injectifs il faut passer aux catégories dérivées, utiliser des structures de modèles injectives ou remplacer par d'autres résolutions (p. ex. Čech ou Godement pour les faisceaux). La résolution n'est pas canonique mais unique à homotopie/quasi-isomorphisme près.

Tension sémantique

Une tension existe entre les résolutions injectives minimales ou canoniques (quand elles existent) et les résolutions injectives arbitraires ; aussi entre les approches injective et projective — elles calculent toutes les deux les foncteurs dérivés mais respectivement à droite et à gauche et sous des hypothèses d'existence différentes.

Synthèse

Une résolution injective est un plongement homologique d'un objet dans un complexe d'injectifs qui transforme la mesure de la non-exactitude d'un foncteur gauche-exact en calcul d'homologie définissant les foncteurs dérivés à droite.