Ein exakter Kettenkomplex I• aus injektiven Objekten zusammen mit einem Monomorphismus M → I0, der das gegebene Objekt bzw. Modul M einbettet, so dass M → I• in positiven Graden eine Quasi-Isomorphie ist; dient zur Berechnung rechter abgeleiteter Funktoren durch Anwenden eines links-exakten Funktors auf I• und Bilden der Homologie.

Prinzip

Ersetze ein Objekt durch einen homologisch äquivalenten Komplex aus Injektiven, so dass das Anwenden links-exakter Funktoren genügend Exaktheit erhält, um das Versagen der Exaktheit mittels Homologiegruppen zu messen.

Demonstration

Für ein R-Modul M über einem Ring mit genügend Injektiven wähle eine injektive Auflösung 0 → M → I0 → I1 → I2 → ···; durch Anwenden von Hom_R(−,N) erhält man einen Komplex, dessen Kohomologie in Grad n Ext^n_R(M,N) ist.

Fehlanwendung

Die Verwendung einer nicht-exakten Einbettung oder eines Komplexes von nicht-injektiven Objekten und anschließendes Interpretieren der resultierenden Homologie als korrekte rechten abgeleiteten Funktoren; oder der Versuch, eine injektive Auflösung zur Berechnung linkserabgeleiteter Funktoren ohne Dualisierung zu verwenden.

Konsequenz

Korrekt konstruierte injektive Auflösungen liefern wohldefinierte rechte abgeleitete Funktoren (R^iF), lange exakte Folgen in der Kohomologie und Invarianz bis auf Homotopie bzw. Quasi-Isomorphie; sie ermöglichen explizite Berechnungen von Ext und Garbenkohomologie in geeigneten Kategorien.

Umkehrung

Die projektive Auflösung ist die duale Konstruktion: Sie löst Objekte durch Projektive und wird zur Berechnung linkserabgeleiteter Funktoren wie Tor verwendet, nicht zur Berechnung rechter Ableitungen.

Abgrenzung

Existiert und ist nützlich in abelschen Kategorien mit genügend Injektiven; in Kategorien ohne genügend Injektive muss man zu abgeleiteten Kategorien wechseln, injektive Modellstrukturen benutzen oder andere Auflösungen (z. B. Čech- oder Godement-Auflösungen für Garben) einsetzen. Die Auflösung ist nicht kanonisch, aber bis auf Homotopie/Quasi-Isomorphie eindeutig.

Semantische Spannung

Es besteht Spannung zwischen minimalen oder kanonischen injektiven Auflösungen (wenn vorhanden) und beliebigen injektiven Auflösungen; außerdem zwischen injektiver und projektiver Vorgehensweise — beide berechnen abgeleitete Funktoren, jedoch jeweils auf der rechten bzw. linken Seite und unter unterschiedlichen Existenzbedingungen.

Synthese

Eine injektive Auflösung ist die Einbettung eines Objekts in einen homologisch äquivalenten Komplex aus Injektiven, die das Problem, das Versagen eines links-exakten Funktors zu messen, in die Berechnung von Kohomologiegruppen überführt, die die rechten abgeleiteten Funktoren darstellen.