Un complejo exacto I• formado por objetos inyectivos junto con un monomorfismo M → I0 que embebe el objeto o módulo M dado de modo que M → I• sea una quasi-isomorfía en grados positivos; se utiliza para calcular fonctores derivadas a la derecha aplicando un functor izquierdo-exacto a I• y tomando la homología.

Principio

Sustituir un objeto por un complejo homológicamente equivalente construido con inyectivos de manera que la aplicación de funtores izquierda-exactos conserve suficiente exactitud para medir la falla de exactitud mediante grupos de homología.

Demostración

Para un R-módulo M sobre un anillo con suficientes inyectivos, escoger una resolución inyectiva 0 → M → I0 → I1 → I2 → ···; al aplicar Hom_R(−,N) se obtiene un complejo cuya cohomología en grado n es Ext^n_R(M,N).

Aplicación incorrecta

Usar una inmersión no exacta o un complejo de objetos no inyectivos e interpretar después la homología resultante como los fonctores derivados correctos a la derecha; o intentar usar una resolución inyectiva para calcular fonctores derivados a la izquierda sin dualizar.

Consecuencia

Las resoluciones inyectivas bien construidas proporcionan fonctores derivados a la derecha bien definidos (R^iF), sucesiones exactas largas en cohomología e invariancia a homotopía o quasi-isomorfía; permiten cálculos explícitos de Ext y de cohomología de haces en categorías adecuadas.

Inversión

La resolución proyectiva es la construcción dual: resuelve objetos por proyectivos y se usa para calcular fonctores derivados a la izquierda como Tor, en lugar de fonctores derivados a la derecha.

Límite

Existe y es útil en categorías abelianas con suficientes inyectivos; en categorías sin suficientes inyectivos hay que pasar a categorías derivadas, usar estructuras de modelos inyectivas o reemplazar por otras resoluciones (p. ej. Čech o Godement para haces). La resolución no es canónica, pero es única salvo homotopía o quasi-isomorfía.

Tensión semántica

Hay tensión entre resoluciones inyectivas mínimas o canónicas (cuando existen) y resoluciones inyectivas arbitrarias; también entre los enfoques inyectivo y proyectivo — ambos calculan fonctores derivados pero en lados opuestos (derecho vs. izquierdo) y con hipótesis de existencia distintas.

Síntesis

Una resolución inyectiva es una inmersión homológicamente equivalente de un objeto en un complejo de inyectivos que transforma la medición de la no exactitud de un functor izquierdo-exacto en el cálculo de grupos de homología que definen los fonctores derivados a la derecha.