Construction topologique qui adjoint un unique point nouveau (souvent noté ∞) à un espace de Hausdorff localement compact non compact de sorte que l'espace étendu devienne compact ; les voisinages du point adjoint sont pris comme les compléments d'ensembles compacts de l'espace initial.

Principe

Ajouter un point unique dont les voisinages sont les compléments d'ensembles compacts de l'espace de départ ; cette opération produit un espace compact lorsque l'espace initial est localement compact et de Hausdorff, et fournit la compactification minimale qui identifie toutes les « directions à l'infini » en un seul point.

Démonstration

La compactification à un point de R^n est homéomorphe à la sphère S^n : la projection stéréographique réalise R^n ∪ {∞} ≅ S^n. Pour une variété non compacte et connexe, l'adjonction d'un point fournit souvent une variété compacte avec un seul point ajouté à l'infini.

Mauvaise application

Tenter de construire la compactification à un point d'un espace qui n'est pas localement compact (par exemple, un produit infini de facteurs non triviaux) en s'attendant à obtenir un espace de Hausdorff ; dans ces cas la topologie produite peut ne pas satisfaire les axiomes de séparation ou ne pas se comporter comme attendu.

Conséquence

Appliquée correctement, la construction donne un espace compact de Hausdorff contenant de manière canonique l'espace initial comme sous-ensemble ouvert et dense, et réalise la compactification minimale qui écrase toutes les ‘‘fins’’ en un point unique.

Inversion

Enlever un point d'un espace compact de Hausdorff homéomorphe à une compactification à un point reconstruit un espace localement compact non compact ; par exemple, S^n \ {p} ≅ R^n.

Limite

Définie et pertinente pour les espaces localement compacts, non compacts et de Hausdorff. Pour un espace déjà compact ou non localement compact, la construction donne soit un point isolé trivial soit échoue à préserver la propriété de Hausdorff et sort du cadre attendu.

Tension sémantique

S'oppose à des compactifications multipoints (par ex. Stone-Čech) et à des compactifications qui conservent davantage de données fonctionnelles ; la compactification à un point est l'option minimale qui identifie toutes les infinis, tandis que d'autres distinguent différentes directions à l'infini.

Synthèse

La compactification à un point consiste à ajouter un point idéal unique dont les voisinages sont les compléments d'ensembles compacts pour transformer un espace localement compact non compact de Hausdorff en un espace compact de Hausdorff ; c'est la compactification la plus simple qui identifie toutes les fins en un seul point, naturelle pour les variétés et les espaces euclidiens.