Eine topologische Konstruktion, die einem nichtkompakten, lokal kompakten Hausdorffraum genau einen neuen Punkt (häufig ∞) hinzufügt, sodass der erweiterte Raum kompakt wird; Umgebungen des angefügten Punktes sind die Komplemente kompakter Teilmengen des ursprünglichen Raums.

Prinzip

Einen einzigen Punkt anfügen, dessen Umgebungen die Komplemente kompakter Mengen sind; so erhält man bei lokal kompakten Hausdorffräumen eine kompakte Erweiterung, die alle Richtungen ins Unendliche zu einem Punkt zusammenfaßt.

Demonstration

Die Einpunktkompaktifizierung von R^n ist homöomorph zur n-Sphäre S^n: Stereografische Projektion liefert R^n ∪ {∞} ≅ S^n. Bei nichtkompakten, zusammenhängenden Mannigfaltigkeiten führt das Anfügen eines Punktes oft zu einer kompakten Mannigfaltigkeit mit einem einzelnen Punkt im Unendlichen.

Fehlanwendung

Zu versuchen, die Einpunktkompaktifizierung für einen Raum anzuwenden, der nicht lokal kompakt ist (etwa ein unendliches Produkt nicht trivialer Räume) und zu erwarten, dass das Ergebnis Hausdorff bleibt; in solchen Fällen kann die resultierende Topologie Trennungseigenschaften verlieren oder nicht die gewünschte Kompaktheit haben.

Konsequenz

Richtig angewandt ergibt die Konstruktion einen kompakten Hausdorffraum mit kanonischer Einbettung des Ausgangsraums als dicht offenes Teilgebiet und liefert die minimale Kompaktifizierung, die alle Enden zu einem Punkt kollabiert.

Umkehrung

Das Entfernen eines Punktes aus einem kompakten Hausdorffraum, der eine Einpunktkompaktifizierung eines Raumes ist, liefert den ursprünglichen nichtkompakten, lokal kompakten Hausdorffraum zurück; z. B. S^n \ {p} ≅ R^n.

Abgrenzung

Definiert und sinnvoll für nichtkompakte, lokal kompakte Hausdorffräume. Bei bereits kompakten oder nicht lokal kompakten Räumen ergibt die Konstruktion entweder einen trivial isolierten Punkt oder verliert die Hausdorff-Eigenschaft und liegt nicht mehr im intendeden Anwendungsbereich.

Semantische Spannung

Steht im Spannungsfeld zu multiplen Kompaktifizierungen (z. B. Stone-Čech) und zu Kompaktifizierungen, die mehr funktionentheoretische Informationen bewahren; die Einpunktkompaktifizierung ist die minimalistische Variante, andere unterscheiden verschiedene Richtungen ins Unendliche.

Synthese

Die Einpunktkompaktifizierung fügt einen einzigen Idealpunkt hinzu, dessen Umgebungen die Komplemente kompakter Teilmengen sind, um einen nichtkompakten, lokal kompakten Hausdorffraum in einen kompakten Hausdorffraum zu überführen; sie ist die einfachste Form der Kompaktifizierung, die alle Enden zu einem Punkt zusammenfaßt.