Una construcción topológica que añade un único punto nuevo (habitualmente denotado ∞) a un espacio de Hausdorff localmente compacto no compacto para que el espacio ampliado sea compacto; los entornos del punto añadido se toman como complementos de subconjuntos compactos del espacio original.

Principio

Adjuntar un único punto cuyos entornos son los complementos de conjuntos compactos en el espacio de partida; así se obtiene un espacio compacto cuando el original es localmente compacto y de Hausdorff, y se consigue la compactificación mínima que identifica todas las ‘direcciones al infinito’ en un solo punto.

Demostración

La compactificación de un punto de R^n es homeomorfa a la esfera S^n: la proyección estereográfica muestra R^n ∪ {∞} ≅ S^n. En una variedad no compacta y conexa, añadir un punto suele producir una variedad compacta con un único punto en el infinito.

Aplicación incorrecta

Intentar formar la compactificación de un punto para un espacio que no es localmente compacto (por ejemplo, un producto infinito de espacios no triviales) y esperar que el resultado sea Hausdorff; en esos casos la topología resultante puede fallar en las propiedades de separación o no comportarse como se pretende.

Consecuencia

Cuando se aplica correctamente, la construcción produce un espacio compacto de Hausdorff que contiene canónicamente al original como un subconjunto abierto y denso, y constituye la compactificación mínima que colapsa todos los extremos en un punto único.

Inversión

Quitar un punto de un espacio compacto de Hausdorff homeomorfo a una compactificación de un punto recupera un espacio localmente compacto no compacto; por ejemplo, S^n \ {p} ≅ R^n.

Límite

Definida y útil para espacios no compactos, localmente compactos y de Hausdorff. Para espacios ya compactos o no localmente compactos, la construcción produce o bien un punto aislado trivial o bien no preserva la propiedad de Hausdorff y queda fuera del uso previsto.

Tensión semántica

Compite con compactificaciones de varios puntos (p. ej. Stone-Čech) y con compactificaciones que conservan más información funcional; la compactificación de un punto es la opción mínima que identifica todos los infinitos, mientras que otras distinguen direcciones diferentes al infinito.

Síntesis

La compactificación de un punto consiste en añadir un único punto ideal cuyos entornos son los complementos de conjuntos compactos para convertir un espacio localmente compacto no compacto de Hausdorff en un espacio compacto de Hausdorff; es la compactificación más sencilla que identifica todos los extremos en un solo punto y es natural para variedades y espacios euclidianos.