Un foncteur F entre catégories C et D qui associe à chaque objet X de C un objet F(X) de D et à chaque morphisme f: X→Y dans C un morphisme F(f): F(X)→F(Y) dans D, préservant les identités (F(id_X)=id_{F(X)}) et la composition (F(g◦f)=F(g)◦F(f)).

Principe

Un foncteur traduit objets et morphismes d'un contexte catégorique à un autre en respectant la structure de composition, permettant de comparer et transférer des constructions.

Démonstration

Le foncteur puissance P: Set → Set associe à chaque ensemble X son ensemble des parties P(X) et à chaque fonction f: X→Y la fonction P(f): P(X)→P(Y) envoyant S ↦ f(S) ; identités et composition sont préservées.

Mauvaise application

Définir une application sur objets et morphismes qui ne préserve pas la composition (par ex. envoyer des composés sur des éléments non composables) ou les identités, rompt la fonctorialité et empêche des structures induites comme la naturalité.

Conséquence

Les foncteurs permettent de transporter limites, colimites, structures algébriques et propriétés entre catégories et de former des catégories de foncteurs ; ce sont les morphismes entre catégories.

Inversion

Un foncteur contrariant inverse la direction des flèches (associe à f: X→Y un F(f): F(Y)→F(X)) ; oublier la variance modifie ce qui est préservé ou inversé et influence les adjoints.

Limite

Exclut les applications qui sont uniquement au niveau des objets ou uniquement au niveau des morphismes ; les foncteurs enrichis ou laxistes relâchent les conditions de préservation et sortent de la définition stricte sauf indication contraire.

Tension sémantique

Tension entre la vision du foncteur comme simple correspondance d'objets et celle comme transformation préservant la structure ; l'essentiel est la préservation des identités et de la composition, pas juste une correspondance d'objets.

Synthèse

Un foncteur F: C→D est un traducteur préservant la structure entre catégories qui associe objets à objets et morphismes à morphismes en respectant identités et composition, permettant le transfert cohérent de constructions catégoriques.