Ein Funktor F zwischen Kategorien C und D, der jedem Objekt X von C ein Objekt F(X) von D und jedem Morphismus f: X→Y in C einen Morphismus F(f): F(X)→F(Y) in D zuordnet, wobei Identitäten (F(id_X)=id_{F(X)}) und Komposition (F(g◦f)=F(g)◦F(f)) erhalten bleiben.

Prinzip

Ein Funktor übersetzt Objekte und Morphismen eines kategorialen Kontexts in einen anderen unter Wahrung der Kompositionsstruktur und ermöglicht so Vergleich und Transfer von Konstruktionen.

Demonstration

Der Potenzmengen-Funktor P: Set → Set ordnet jeder Menge X ihre Potenzmenge P(X) zu und jeder Abbildung f: X→Y die Abbildung P(f): P(X)→P(Y) durch Bildbildung S ↦ f(S); Identitäten und Komposition bleiben erhalten.

Fehlanwendung

Eine Abbildung von Objekten und Morphismen zu definieren, die Komposition nicht erhält (z. B. Komposite auf nicht-komponierbare Bilder abbildet) oder Identitäten nicht abbildet, zerstört Funktorialität und bricht induzierte Strukturen wie Naturalität.

Konsequenz

Funktoren erlauben den Transport von Limiten, Kolimiten, algebraischer Struktur und Eigenschaften zwischen Kategorien und die Bildung von Kategorien von Funktoren; sie sind die Morphismen der 'Kategorie der Kategorien'.

Umkehrung

Ein kontravarianter Funktor kehrt die Pfeilrichtung um (ordnet f: X→Y ein F(f): F(Y)→F(X) zu); das Ignorieren der Varianz verändert, was erhalten bzw. invertiert wird, und beeinflusst Adjunktionen.

Abgrenzung

Schließt Abbildungen aus, die nur auf Objektebene oder nur auf Morphismusebene wirken; angereicherte oder schwache (laxe) Funktoren lockern Erhaltungseigenschaften und gehören nicht zur strikten Definition ohne Zusatzangabe.

Semantische Spannung

Spannung zwischen der Auffassung von Funktoren als bloße Objektzuordnungen und als struktur­erhaltende Transformationen; entscheidend ist die Erhaltung von Identitäten und Komposition, nicht nur Korrespondenz der Objekte.

Synthese

Ein Funktor F: C→D ist ein struktur­erhaltender Übersetzer zwischen Kategorien, der Objekte auf Objekte und Morphismen auf Morphismen abbildet und dabei Identitäten und Komposition respektiert, wodurch kategoriale Konstruktionen kohärent übertragen werden.