Un mapeo F entre categorías C y D que asigna a cada objeto X de C un objeto F(X) de D y a cada morfismo f: X→Y en C un morfismo F(f): F(X)→F(Y) en D, preservando identidades (F(id_X)=id_{F(X)}) y composición (F(g◦f)=F(g)◦F(f)).

Principio

Un funtor traduce objetos y morfismos de un contexto categórico a otro respetando la estructura composicional, permitiendo la comparación y el transporte de construcciones.

Demostración

El funtor potencia de conjuntos P: Set → Set asigna a cada conjunto X su conjunto potencia P(X) y a cada función f: X→Y la función P(f): P(X)→P(Y) dada por la imagen S ↦ f(S); se preservan identidades y composición.

Aplicación incorrecta

Definir una correspondencia en objetos y morfismos que no preserve la composición (por ejemplo, enviar compuestos a no compuestos) o las identidades rompe la funtorialidad y destruye estructuras inducidas como la naturalidad.

Consecuencia

Los funtores permiten transportar límites, colímites, estructuras algebraicas y propiedades entre categorías y formar categorías de funtores; son los morfismos en la 'categoría de categorías'.

Inversión

Un funtor contravariante invierte la dirección de las flechas (asigna a f: X→Y un F(f): F(Y)→F(X)); olvidar la varianza cambia lo que se preserva frente a lo que se invierte y afecta adjunciones.

Límite

Excluye mapeos que actúan solo a nivel de objetos o solo a nivel de morfismos; funtor enriquecidos o laxos relajan condiciones de preservación y quedan fuera de la definición estricta salvo especificación.

Tensión semántica

Tensión entre ver funtores como meras asignaciones de objetos y verlos como transformaciones que preservan estructura; lo crucial es la preservación de identidades y composición, no solo correspondencia de objetos.

Síntesis

Un funtor F: C→D es un traductor que preserva estructura entre categorías, asignando objetos a objetos y morfismos a morfismos respetando identidades y composición, lo que permite la transferencia coherente de construcciones categóricas.