Un sous-ensemble I d'un anneau R qui est un sous-groupe additif et qui est stable par multiplication par des éléments arbitraires de R (pour tout r ∈ R et x ∈ I, rx et xr appartiennent à I) ; dans les anneaux commutatifs cela signifie r x ∈ I pour tout r ∈ R et x ∈ I.

Principe

Les idéaux sont des objets algébriques stables par addition et par multiplication par des éléments de l'anneau, ce qui leur permet de jouer le rôle de noyaux d'homomorphismes d'anneaux et de générer des anneaux quotient.

Démonstration

Dans l'anneau des entiers Z, l'ensemble 2Z des entiers pairs est un idéal car il est stable par addition et par multiplication par n'importe quel entier ; dans l'anneau des polynômes k[x], l'idéal (x) des polynômes sans terme constant est un idéal engendré par x.

Mauvaise application

Considérer comme idéal tout sous-groupe additif d'un anneau sans vérifier la stabilité par multiplication par des éléments quelconques de l'anneau (ou ne pas distinguer les idéaux à gauche, à droite et bilatères en contexte non commutatif).

Conséquence

Si I est un idéal de R, le quotient R/I est un anneau ; les idéaux classifient les noyaux des homomorphismes et déterminent des propriétés de factorisation et de décomposition des anneaux.

Inversion

Un sous-monoïde multiplicatif ou un sous-anneau qui n'est pas fermé par addition n'est pas un idéal ; inverser les propriétés de clôture aboutit à des objets comme des ensembles multiplicatifs ou des sous-anneaux plutôt qu'à des idéaux.

Limite

La définition exclut les structures qui sont seulement des sous-groupes ou seulement des ensembles fermés pour la multiplication ; dans les anneaux non commutatifs il faut distinguer idéaux à gauche, à droite et bilatères, et certains résultats supposent l'existence d'un élément unité.

Tension sémantique

Le sens courant d'« idéal » comme modèle parfait concurrence l'usage algébrique où il s'agit d'un sous-ensemble concret ; de plus, en algèbre non commutative, 'idéal' peut signifier plusieurs choses proches mais techniques.

Synthèse

Un idéal est le sous-ensemble additif d'un anneau stable par multiplication par les éléments de l'anneau ; il sert de structure canonique pour former des quotients et décrire les noyaux des homomorphismes.