Eine Teilmenge I eines Rings R, die eine additive Untergruppe ist und abgeschlossen unter Multiplikation mit beliebigen Elementen aus R ist (für alle r ∈ R und x ∈ I liegen rx und xr in I); in kommutativen Ringen heißt das r x ∈ I für jedes r ∈ R und x ∈ I.

Prinzip

Ideale sind algebraische Teilmengen, die unter Addition und unter Multiplikation mit Ringelementen stabil sind, sodass sie als Kerne von Ringhomomorphismen und als Bausteine für Quotientenringe fungieren können.

Demonstration

Im Ring der ganzen Zahlen Z ist 2Z, die Menge der geraden Zahlen, ein Ideal, weil sie unter Addition und Multiplikation mit beliebigen ganzen Zahlen geschlossen ist; im Polynomring k[x] ist das Ideal (x) die Menge der Polynome ohne absoluten Term.

Fehlanwendung

Jede additive Untergruppe eines Rings ohne Überprüfung der Multiplikationsstabilität als Ideal zu bezeichnen oder in nichtkommutativen Ringen nicht zwischen Links-, Rechts- und zweiseitigen Idealen zu unterscheiden.

Konsequenz

Ist I ein Ideal von R, so ist R/I ein Ring; Ideale klassifizieren die Kerne von Homomorphismen und beeinflussen Zerlegungs- und Faktorisierungseigenschaften des Rings.

Umkehrung

Ein multiplikatives Untermonoid oder ein Teilring, der nicht unter Addition abgeschlossen ist, ist kein Ideal; das Umkehren der Abschlussbedingungen ergibt andere Objekte wie multiplikative Mengen oder Teilringe.

Abgrenzung

Die Definition schließt Strukturen aus, die nur Untergruppen oder nur multiplikativ abgeschlossene Mengen sind; in nichtkommutativen Ringen muss zwischen links-, rechts- und zweiseitigen Idealen unterschieden werden, und manche Resultate setzen Einselemente voraus.

Semantische Spannung

Die alltägliche Bedeutung von 'Ideal' als vorbildliches Konzept steht im Wettbewerb zur algebraischen Bedeutung als konkretes abgeschlossenes Teilset; ferner gibt es in der nichtkommutativen Situation mehrere nahe liegende technische Bedeutungen.

Synthese

Ein Ideal ist die additive Teilmenge eines Rings, die unter Multiplikation mit Ringelementen gesättigt ist, und bildet so das kanonische Objekt für Quotienten und Kerne von Homomorphismen.