Definición
Un subconjunto I de un anillo R que es un subgrupo aditivo y que está cerrado bajo multiplicación por elementos arbitrarios de R (para todo r ∈ R y x ∈ I, rx y xr pertenecen a I); en anillos conmutativos esto significa r x ∈ I para todo r ∈ R y x ∈ I.
Principio
Principio
Los ideales son las estructuras algebraicas estables por suma y por multiplicación por elementos del anillo, de modo que pueden actuar como núcleos de homomorfismos y como bloques constructivos para anillos cociente.
Demostración
Demostración
En el anillo de enteros Z, el conjunto 2Z de enteros pares es un ideal porque está cerrado por suma y por multiplicación por cualquier entero; en el anillo de polinomios k[x], el ideal (x) de polinomios sin término constante es un ideal generado por x.
Aplicación incorrecta
Aplicación incorrecta
Tratar como ideal a cualquier subgrupo aditivo sin comprobar la estabilidad bajo multiplicación por elementos arbitrarios del anillo, o no distinguir entre ideales izquierdos, derechos y bilaterales en contextos no conmutativos.
Consecuencia
Consecuencia
Si I es un ideal de R, entonces R/I es un anillo; los ideales clasifican los núcleos de homomorfismos y regulan propiedades de factorización y descomposición del anillo.
Inversión
Inversión
Un submonoide multiplicativo o un subanillo que no es cerrado por suma no es un ideal; invertir las propiedades de cierre conduce a objetos distintos como conjuntos multiplicativos o subanillos.
Límite
Límite
La definición excluye estructuras que son solo subgrupos o solo conjuntos cerrados multiplicativamente; en anillos no conmutativos hay que distinguir ideales izquierdos, derechos y bilaterales, y ciertos resultados requieren existencia de unidad.
Tensión semántica
Tensión semántica
El uso cotidiano de 'ideal' como modelo perfecto compite con el uso algebraico como subconjunto cerrado; además, en álgebra no conmutativa 'ideal' puede abarcar variadas acepciones técnicas cercanas.
Síntesis
Síntesis
Un ideal es el subconjunto aditivo de un anillo saturado bajo multiplicación por elementos del anillo; sirve como el objeto canónico para formar cocientes y describir núcleos de homomorfismos.