Une bijection entre des sous-structures finies de deux structures (ou entre des parties finies munies de la structure induite) qui préserve toutes les interprétations de fonctions et de relations sur son domaine et son image. Un isomorphisme partiel n'a pas à être défini sur la totalité du domaine ; il atteste d'un accord structurel local entre modèles.

Principe

Préservation bijective locale : la contrainte organisatrice est que sur le domaine fini où l'application est définie, toute relation et fonction a la même valeur de vérité et la même valeur après application, de sorte que l'application est un isomorphisme entre les sous-structures finies induites.

Démonstration

Dans les jeux d'Ehrenfeucht–Fraïssé, une position est donnée par un isomorphisme partiel fini entre deux structures : la bijection courante associe des éléments choisis de manière que des tuples satisfassent les mêmes formules atomiques. Exemple : entre deux graphes, une bijection entre ensembles finis de sommets qui préserve l'adjacence et la non-adjacence est un isomorphisme partiel fini.

Mauvaise application

Supposer qu'un isomorphisme partiel fini s'étend à un isomorphisme total sans argument supplémentaire, ou traiter un homomorphisme partiel quelconque (non injectif ou ne réfléchissant pas les relations) comme un isomorphisme partiel. Une autre erreur est de confondre «isomorphisme partiel» avec «isomorphisme sur une sous-structure» lorsque le domaine/image ne sont pas fermés par les fonctions de la langue.

Conséquence

Les isomorphismes partiels permettent des arguments local-vers-global (via back-and-forth) pour établir l'équivalence élémentaire ou l'isomorphisme total pour des structures dénombrables ; ils formalisent l'idée que deux structures sont indiscernables par des formules de profondeur bornée en quantificateurs.

Inversion

Isomorphisme Total : l'inverse est une bijection globale préservant toute la structure partout. L'incapacité à étendre des isomorphismes partiels signale des différences intrinsèques faisant obstacle à l'équivalence élémentaire ou à l'isomorphisme.

Limite

S'applique aux bijections entre morceaux induits finis (ou applications partielles finies) qui préservent exactement les interprétations ; elle exclut les fonctions partielles arbitraires, les applications non injectives et les applications qui ne font que préserver l'information positive sans la réfléchir. Le cadre se restreint souvent à des domaines finis lorsqu'on les utilise dans des arguments back-and-forth.

Tension sémantique

Isomorphisme partiel versus homomorphisme partiel : un isomorphisme partiel est bijectif et réfléchi ainsi que préservé pour les faits atomiques, alors qu'un homomorphisme partiel ne fait que préserver des relations positives et peut ne pas être injectif ; confondre les deux affaiblit les raisonnements reposant sur la bijectivité ou la réflexion.

Synthèse

Un isomorphisme partiel est un accord bijectif fini entre sous-structures induites : il saisit l'indiscernabilité locale précise en exigeant une préservation et une réflexion exactes du langage sur un domaine fini, et sert de brique élémentaire pour les constructions back-and-forth et la comparaison locale des modèles.