Eine Bijektion zwischen endlichen Teilstrukturen zweier Strukturen (oder zwischen endlichen Teilmengen mit der induzierten Struktur), die auf ihrem Definitionsbereich und Bild alle Funktions- und Relationsinterpretationen erhält. Eine partielle Isomorphie muss nicht auf dem gesamten Träger definiert sein; sie bezeugt lokale strukturelle Übereinstimmung zwischen Modellen.

Prinzip

Lokale bijektive Bewahrung: Die ordnende Bedingung ist, dass auf dem endlichen Bereich, auf dem die Abbildung definiert ist, jede Relation und Funktion denselben Wahrheitswert bzw. dasselbe Bild unter der Abbildung hat, sodass die Abbildung ein Isomorphismus zwischen den induzierten endlichen Teilstrukturen ist.

Demonstration

In Ehrenfeucht–Fraïssé-Spielen ist eine Stellung durch eine endliche partielle Isomorphie zwischen zwei Strukturen gegeben: die aktuelle Bijektion ordnet ausgewählte Elemente so zu, dass Tupel dieselben atomaren Formeln erfüllen. Beispiel: Zwischen zwei Graphen ist eine Bijektion zwischen endlichen Vertex-Mengen, die Adjazenz und Nicht-Adjazenz erhält, eine endliche partielle Isomorphie.

Fehlanwendung

Zu behaupten, eine endliche partielle Isomorphie ließe sich ohne weiteres zu einer totalen Isomorphie erweitern, oder jede partielle Homomorphie (nicht injektiv oder nicht reflektierend) als partielle Isomorphie zu behandeln. Ein weiterer Missgriff ist, ‚partielle Isomorphie‘ mit ‚Isomorphie auf einer Teilstruktur‘ zu verwechseln, wenn Definitionsbereich/Bild nicht unter den Funktionen der Sprache abgeschlossen sind.

Konsequenz

Partielle Isomorphismen ermöglichen lokal-zu-global-Argumente (via Back-and-Forth), um elementare Äquivalenz oder totale Isomorphie für abzählbare Strukturen zu beweisen; sie formen die Vorstellung, dass zwei Strukturen durch Formeln begrenzter Quantorentiefe ununterscheidbar sind.

Umkehrung

Totale Isomorphie: Die Umkehr ist eine globale Bijektion, die die gesamte Struktur überall erhält. Das Scheitern, partielle Isomorphismen zu erweitern, deutet auf inhärente Unterschiede hin, die elementare Äquivalenz oder Isomorphie verhindern.

Abgrenzung

Gilt für Bijektionen zwischen induzierten endlichen Stücken (oder endlichen partiellen Abbildungen), die Interpretationen exakt erhalten; schließt willkürliche partielle Funktionen, nicht-injektive Abbildungen und Abbildungen aus, die nur positive Information erhalten, ohne sie zu reflektieren. Der Anwendungsbereich beschränkt sich beim Back-and-Forth oft auf endliche Bereiche.

Semantische Spannung

Partielle Isomorphie versus partielle Homomorphie: Eine partielle Isomorphie ist bijektiv und reflektiert sowie erhält atomare Fakten, während eine partielle Homomorphie nur positive Relationen erhält und möglicherweise nicht injektiv ist; die Verwechslung schwächt Argumente, die Bijektivität oder Reflexion benötigen.

Synthese

Eine partielle Isomorphie ist eine endliche bijektive Übereinstimmung zwischen induzierten Teilstrukturen: Sie erfasst präzise lokale Ununterscheidbarkeit, indem sie exakte Erhaltung und Reflexion der Sprache auf einem endlichen Bereich verlangt und bildet die Grundlage für Back-and-Forth-Konstruktionen und lokale Modellvergleiche.