Una biyección entre subestructuras finitas de dos estructuras (o entre subconjuntos finitos con la estructura inducida) que preserva todas las interpretaciones de funciones y relaciones en su dominio e imagen. Un isomorfismo parcial no necesita estar definido en todo el dominio; testifica un acuerdo estructural local entre modelos.

Principio

Preservación bijectiva local: la regla organizadora es que en el dominio finito donde el mapa está definido, cada símbolo de relación y función tiene el mismo valor de verdad y la misma imagen tras el mapeo, de modo que el mapa es un isomorfismo entre las subestructuras finitas inducidas.

Demostración

En los juegos de Ehrenfeucht–Fraïssé, una posición viene dada por un isomorfismo parcial finito entre dos estructuras: la biyección actual empareja elementos seleccionados para que las tuplas satisfagan las mismas fórmulas atómicas. Ejemplo: entre dos grafos, una biyección entre conjuntos finitos de vértices que preserva adyacencia y no adyacencia es un isomorfismo parcial finito.

Aplicación incorrecta

Asumir que un isomorfismo parcial finito se extiende a un isomorfismo total sin más argumentos, o tratar cualquier homomorfismo parcial (no inyectivo o que no refleje relaciones) como isomorfismo parcial. Otro uso indebido es confundir 'isomorfismo parcial' con 'isomorfismo sobre una subestructura' cuando dominio/imagen no están cerrados bajo las funciones del lenguaje.

Consecuencia

Los isomorfismos parciales permiten argumentos locales-a-globales (vía back-and-forth) para establecer equivalencia elemental o isomorfismo total en estructuras numerables; formalizan la idea de que dos estructuras son indistinguibles por fórmulas de profundidad cuantificadora acotada.

Inversión

Isomorfismo Total: la inversión es una biyección global que preserva toda la estructura en todos los puntos. La incapacidad de extender isomorfismos parciales señala diferencias intrínsecas que obstruyen la equivalencia elemental o el isomorfismo.

Límite

Se aplica a biyecciones entre fragmentos inducidos finitos (o mapas parciales finitos) que preservan exactamente las interpretaciones; excluye funciones parciales arbitrarias, mapas no inyectivos y mapas que solo preservan información positiva sin reflejarla. El uso suele restringirse a dominios finitos en argumentos back-and-forth.

Tensión semántica

Isomorfismo parcial versus homomorfismo parcial: un isomorfismo parcial es biyectivo y refleja además de preservar hechos atómicos, mientras que un homomorfismo parcial solo preserva relaciones positivas y puede no ser inyectivo; confundirlos debilita argumentos que dependen de biyectividad o reflexión.

Síntesis

Un isomorfismo parcial es un acuerdo finito y biyectivo entre subestructuras inducidas: captura la indistinguibilidad local precisa exigiendo preservación y reflexión exactas del lenguaje en un dominio finito, y sirve como bloque elemental para construcciones back-and-forth y comparaciones locales de modelos.