Une relation métamathématique qui affirme que si une théorie S est consistante alors une autre théorie T est consistante ; elle est généralement établie en exhibant un modèle de T construit à partir d'un modèle de S ou en fournissant une interprétation de T dans S.

Principe

La consistance relative réduit le problème de prouver la consistance d'une théorie à celui de prouver la consistance d'une théorie de base (généralement mieux comprise) en montrant une traduction préservant la vérité ou une construction de modèle du théorique cible dans la théorie de base.

Démonstration

Pour montrer que ZF+¬CH est consistante relative à ZF, on construit, à partir de tout modèle de ZF, un nouveau modèle où ¬CH est vrai (la méthode de forcing). L'argument donne : si ZF a un modèle (c.-à-d. est consistante), alors ZF+¬CH a aussi un modèle et est donc consistante relative à ZF.

Mauvaise application

Interpréter la consistance relative comme une preuve de consistance absolue. Un résultat de consistance relative dépend de la consistance supposée de la théorie de base ; il n'élimine pas la nécessité fondamentale de justifier cette théorie de base, et l'on ne peut pas revendiquer une certitude absolue sur la théorie cible uniquement à partir d'une consistance relative.

Conséquence

Les résultats de consistance relative permettent de transférer la confiance dans l'absence de contradiction d'une théorie bien étudiée à une autre théorie, clarifiant ainsi les phénomènes d'indépendance et de dépendance et structurant les preuves de consistance de façon hiérarchique.

Inversion

L'énoncé réciproque — si T est consistante alors S est consistante — est en général une affirmation différente et indépendante ; la consistance relative n'est pas symétrique sauf si elle est démontrée par une interprétation bilatérale ou une construction de modèles réciproque.

Limite

S'applique seulement dans la mesure où l'on accepte les ressources métathéoriques utilisées pour établir la réduction (types de modèles, hypothèses en théorie des ensembles, interprétations admissibles). Elle ne fournit pas une preuve dans la théorie objet elle-même et dépend de ce qui est considéré comme une construction de modèles acceptable dans la métathéorie.

Tension sémantique

Il existe une tension entre consistance relative et conservativité : la conservativité garantit qu'il n'y a pas de nouveaux théorèmes dans le langage de base, tandis que la consistance relative concerne le transfert de non-contradiction. Une théorie peut être consistante relative à une autre sans être une extension conservative, ce qui crée une friction conceptuelle quant à l'idée de 'non-nocivité'.

Synthèse

La consistance relative est l'outil méta-level qui montre que l'absence de contradictions dans une théorie de base digne de confiance suffit à garantir l'absence de contradictions dans une théorie cible, typiquement via une interprétation ou une construction de modèles.